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1、第四节 定积分的应用,内容提要 1.微元法；2.平面图形的面积；3.旋转体的体积。教学要求 1.熟练掌握应用元素法去解决积分中的实际应用题；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；3.熟练掌握应用元素法求体积的方法。,回顾,曲边梯形求面积的问题,问题的提出,一、定积分的微元法,A,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,对以上过程进行简化:,这种简化以后的定积分方法叫“微元法”,微元法的一般步骤：,两边积分,就可以考虑用定积分来表达这个量F，即,说明：当所求量F符合下列条件,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.直角坐标系情形,二、用定积分求平面图形的
2、面积,上曲线,下曲线,x,总之,x,解,两曲线的交点,面积微元,选 为积分变量,x,例1,求面积的一般步骤：,1.作图求交点.,2.用定积分表示面积,3.求出定积分的值.,微元法,公式法,解,两曲线的交点,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选x 吗？,选 为积分变量,例2,选 为积分变量,y,y+dy,说明:合理选择积分变量会使计算简单.,一般地:,右曲线,左曲线,解 如图求得交点为,取y为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,（相当于定积分的换元）,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,注意：,例3,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4
3、倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积为:,2.极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,例4,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,总结,微元法,作业:P147.练习题5.4 1(1)(3),2,3,4,1.平行截面面积为已知的立体的体积,设一立体位于 过点x=a,x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间，,从而,用垂直于 x 轴的任一平面截此立体所得的截面积 A(x)是 x 的已知函数，,取 x 为积分变量，在区间 a,b 上任取一小区间,过其端点作垂直 x 轴的平面，,作体积微元：,x,x+dx，,以
4、A(x)为底，dx 为高作柱体，,用微元法：,三、体积,解,取坐标系如图,底半圆方程为,截面面积,立体体积,例6,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.旋转体的体积,旋转体的体积为,取积分变量为 x,求星形线,绕,x,轴旋转,构成旋转体的体积,.,解,由旋转体的体积公式，知：,例7,例8,体积微元,解,右半圆弧方程为,左半圆弧方程为,环体体积为,弧长微元,弧长,平面曲线弧长的概念,曲线弧为,弧长,参数方程情形,例9,解,小结,作业:P147.7，8(1)(3)，9,弧长微元,解,求摆线,的一拱与,所围成的,x,轴,旋转构成旋转体的体积.,解,图形绕,解,设截面面积为,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,3,解,4,解,利用对称性知,5,例,于是功为,若移至无穷远处，则做功为,
