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1、第三节 连续型随机变量 及其概率分布,连续型随机变量及其概率密度常见的连续型随机变量,定义,设X 为一随机变量，若存在非负实函数 f(x),使对任意实数 a b，有,则称X 为连续型随机变量，f(x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度.,分布函数,连续型随机变量及其概率分布,概率密度的性质,（1）,（2）,（3）,对于任意实数空间（a,b,（4）,在 f(x)的连续点 x 处，,利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率,连续型随机变量取任一指定实数值a 的概 率均为0.即,注:,（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续.,f(x)在某点a的高度,并不反映X 取值的概率,但是高
2、度越大,则X 取a附近值的概率就越大,即某点处密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,例:,设随机变量X 的概率密度为,其中k 为待定常数,求：,(1)常数k;(2)X 落入区间(1.5,2.5)内的概率.,已知密度函数求概率,(1),(2),解,当 x 1 时,当1 x 5 时,已知密度函数求分布函数,例.已知连续型随机变量X的概率密度为,求 X 的分布函数,当 x5 时,所以,已知分布函数求密度函数,（2)X 的密度函数,（2）密度函数为,解,例.,（2)求X 的密度函数,练习：,连续型随机变量,的分布函数为,1.均匀分布,则称X在区间 a,b上服从均匀分布，,X U(a,b),常
3、见的连续型随机变量,定义：若 随机变量 X的概率密度为：,记作,X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。,意义：,例：,设在某段时间内的任一时刻乘客来到公共汽车站是等可能的，车站每隔8分钟发一趟车，用X表示某乘客的候车时间，求（1）该乘客候车时间在5分钟以内的概率；（2）候车时间在4分钟以上的概率.,解：,例,XU0，5,其概率密度为,（1）,（2）,若连续型随机变量X的概率密度为,定义:,分布函数,则称X服从参数为 的指数分布.,2.指数分布,
4、指数分布常用作各种“寿命”的分布。如电子元件的使用寿命，动物的寿命，电话的通话时间等。,例.,设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数,及,和,解：,X 的概率密度,则称X服从参数为,定义：若连续型随机变量X 的概率密度为,3.正态分布,曲线 关于 轴对称；,正态分布曲线,当x 时，f(x)0.,f(x)以 x 轴为渐近线,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布,密度函数,分布函数,的性质:,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理.,例,设,求,解：,
