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1、第三节 非离散型随机变量,2.3 随机变量的分布函数一、分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx.,易知，对任意实数a,b(ab),P aXbPXbPXa F(b)F(a).,P(a X b)=P(X=a)+P(a X b),=P(X=a)+F(b)-F(a),P(a Xb)=P(a X b)-P(X=b),=F(b)-F(a)-P(X=b),二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上
2、述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。,故该三个性质是分布函数的充分必要性质,例1 设随机变量X具分布律如右表,解,试求出X的分布函数。,一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为,离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;,反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.,例2 设随机变量的分布律为:,求 的分布函数，并求:,-1,2,3,即,例3 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数
3、解：F(x)=PXx,当x1时,F(x)=1,当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=1,2.4 连续型随机变量一、概率密度,1.定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+),分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义,2.密度函数的性质(1)非负性 f(x)0，(-x)；(2)归一性,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.,EX,设随机变量X的概率密度为,求常数a.,例1 设随机变量 具有概率密度函数
4、试确定常数A，以及 的分布函数.,解:由,知A=3，即,而 的分布函数为,例 2.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求PX(0.5,1.5),(3)若x是f(x)的连续点，则,即：,=f(x),故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,（4）对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=a0。,这是因为,于是,连续型随机变量取任一常数的概率为零.,对于连续型随机变量X,1.均匀分布 若Xf(x),则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b),对任意实数c,d(acdb)，都有,二、几个常用的连续型分布,例.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率,15,45,解：设A乘客候车时间超过10分钟X乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60),则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,2若 随机变量 X具有概率密度,常简记为 XE().,
