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1、概率论与数理统计,4、随机变量函数的分布,已知随机变量X的分布,现求其连续函数Y=g(X)的分布.此时,Y也是随机变量.,一、离散型随机变量函数分布列的求法(同一表格法),设离散型r.v.X的分布律为,则求函数Y=g(X)的分布律的步骤为：,1、求Y的所有可能取值,2、计算Y取各可能值的概率：,概率论与数理统计,如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概率为这些相等值对应的X取值的概率之和.,例如,当,则,如果Y各可能取值互异,即 则,概率论与数理统计,离散型随机变量函数概率分布的计算,概率论与数理统计,【例1】设r.v.X的分布律为:,求X+1,X2-1的分布律.,【解】采用“同一表格
2、法”.,互异,有相等,概率论与数理统计,故X+1分布律为:,X2-1的分布律为:,其中,概率论与数理统计,1、分布函数法(一般情形),设连续型随机变量X的概率密度为,为求Y=g(X)的概率密度,先求Y的分布函数,再对y求导数即得,其中积分区间是以y的函数为端点的区间.求导时一般用到变限函数的导数公式.,二、连续型随机变量函数概率密度的求法,一般处理的关键是讨论函数单调性,概率论与数理统计,【解】设Y的分布函数为，则,对y求导得：,【例2】,概率论与数理统计,特别的,如r.v.XN(0,1),则,例14-续1,变限函数导数公式,概率论与数理统计,于是，Y=X2的分布律为,此时，称Y服从自由度为1
3、的2-分布.,变限函数求导公式,概率论与数理统计,【例3】设r.v.XU(0,1),求Y=eX的概率密度.,【解】因为r.v.XU(0,1),所以X的概率密度为：,从而,整个y轴相应地也被分为三部分:,如图,的非零段将整个x轴分为三部分:,因此,应就y分为上述三个区间来求Y的分布函数.,(-,0),0,1),1,+);,(-,1),1,e),e,+).,概率论与数理统计,(1)当y1时,再分为两种情形:,(a)当y0时,(b)当0 y1时,概率论与数理统计,(2)当1ye时,(3)当ye时,概率论与数理统计,综上所述得Y的分布函数为:,求导得Y的概率密度为:,概率论与数理统计,2、公式法(y=
4、g(x)为单调可导函数),定理 设连续型随机变量X的概率密度为,又函数 处处可导且有恒有,则 是连续型随机变量，其概率密度为,其中,证明此略,为 的反函数。,概率论与数理统计,若 只在有限区间 上不为零，则只需,假设在 上恒有，此时,因此，当随机变量函数是单调函数时，可直接利用上述公式求概率密度函数；当随机变量函数不是单调函数时，应利用分布函数来求概率密度。,概率论与数理统计,设r.v.XU(0,1),求Y=eX的概率密度.,【解】因为r.v.XU(0,1),所以X的概率密度为：,此时，,由公式得：,【例5】,概率论与数理统计,【例6】,【证】因为r.v.XN(,2),所以X的概率密度为：,设r.v.XN(,2),则Y=aX+b(a0)也服从正态分布。,而y=g(x)=ax+b单调可导，且有：,由公式得Y=aX+b的概率密度为：,概率论与数理统计,即,即有：Y=aX+bN(a+b,(a)2).,上述结果表明：正态分布的线性函数仍为正态 分布。,
