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1、4 空间直线及其关系,一、空间直线方程的形式,定义 设L是空间中一已知直线，如果非零向量,平行于直线L，则称,为直线的方向向量。,x,y,z,0,M0,M,1 空间直线的对称式或点向式,问题：设直线L经过定点P0(x0,y0,z0),并以,为方向向量，则直线L的位置完全确定，试建立直线L的方程。,设P(x,y,z)是空间中异于P0的任一点，则点P在直线L上的充要条件为：,由两向量平行的充要条件可得：,（1）,称（1）为直线L的对称式方程。,在(1)式中，令,则,t为参数（2）,称（2）式为直线L的参数方程,约定：,例1 求过点 A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线 l 的对称式 方程、参数
2、方程.,解：l 的方向,则得 l 的对称式方程,参数方程,2 空间直线一般方程,称（3）式为空间直线L的一般方程,当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L的就可以写成联立方程组的形式：,点P0(x0,y0,z0)在L上的充要条件是：,x0,y0,z0同时满足（3）式的两个平面方程.,化一般方程为点向式方程或参数方程。,例2 用对称方程及参数方程表示直线,l：,解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上一定点和 l 的方向即可.,现求一定点.将联立方程组,相加:,令z=1得 x=3,y=1,得一定点(3,1,1).故得对称式,即而得参数方程：,x=3+4t,y=1 t,z=1 3t.,t
3、为参数.,练习 用对称方程表示直线,l：,解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上一定点和 l 的方向即可.,现求一定点.将联立方程组,令x=1得 y=1,z=2,得一定点(1,1,2).故得对称式,定理,二 两直线的位置关系,三 点到直线的距离,四、两直线的夹角、直线与平面的夹角,1、两直线的夹角,特例：,l1/l2,l1 l2,例4 求直线l1：,直线l2：,的夹角。,解：两直线的方向向量分别为：,2、直线与平面的夹角,我们称直线 l 与它所在平面 上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求).,l,设直线 l：,平面：,【注】,（2）一般情形平面 的法向量n,l的方向向量v
4、，则有：,（1）当直线 l 垂直与平面 时，其夹角为,由此可知：,（I）,（II）,例5 求直线l：,且有平面：,则直线l（）,解：直线l的方向向量,（A）平行平面（C）在平面上,（B）垂直平面（D）与平面斜交,定义,定理,五 平面束,这样，方程,定理,定义,六 两直线之间的距离,若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.,定理,证明由上图的几何意义容易得到,【1】求过点M0(3,3,0)且与直线,l1:,垂直相交的直线 l 的方程.,解：,设所求直线 l 与 l2 与交点为M1(x1,y1,z1).,则,本节综合习题,令,t+t+22t 6=0.,t
5、=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).,故直线方程为,【2】设平面过直线 l1:,且平行于直线l2：,解：两直线的方向向量分别为,求平面的方程。,则平面的法向量,故可假设平面的方程为：,代入(1,2,3)，得D=2,所以平面的方程为：,【3】过点P0(1,2,1)和直线 l1:,的平面方程。,解：由于P0不在平面,上，故平面,不为所求平面；通过直线l的全体平面可表示为：,由于点在所求平面上，故代入上式可得,从而所求平面的方程为：,【练习】求直线 l1:,x+y1=0,y+z+1=0,在平面:2x+y+2z=0 上的投影直线的方程.,解：直线l1的方向,=(1,1,1).,再求 l1 与
6、 的交点M0(x0,y0,z0).即联立求解,x+y 1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.,消元,x+y 1=0,y+z+1=0,y+2z+2=0.,x+y 1=0,y+z+1=0,3z+3=0.,得(x0,y0,z0)=(1,0,1).,任取 l1上(不在 上)一点M1(x,y,z)=(0,1,2).,作过 M1且垂直于 的直线l2:,设 l2 与 交点为M2(x2,y2,z2)，则相应参数 t 满足,22t+1+t+2(2+2t)=0,得交点 M2(x2,y2,z2),所求直线方程为,即,思想：,求直线与 交点M0；,求直线上平面 外一点M1；,求过 M1 垂直于 的直线 l2;,
7、求 l2 与 的交点M2；,求过M0，M2 的投影直线方程.,解：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直于的平面1，即由直线的一般形式(也称交面式)求得投影直线.,过 l 的平面束为,下面我们用平面束来解题,得1：,投影直线为,xz 2=0,过1,2x+y+2z=0,过.,令 1=1,即,小结,空间平面,空间直线,一般形式,法点式,截距式,(三元一次方程),Ax+By+Cz+D=0.,交面式,对称式:,参数形式:,两点式:,(一般形式)：,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt;,关系,直线间夹角：,平面间夹角：,直线与平面间夹角：,直线在平面上的投影：,过直线的平面束中的,一条垂直于已知平面的平面,与已知平面的交线(交面式),点到直线的距离,点到平面的距离,Ax+By+Cz+D=0,数量积 向量积,平行,相交,垂直,
