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1、第四十五讲 空间点直线平面之间的位置关系,回归课本,1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.注意:公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,注意:,2.空间直线与直线的位置关系(1)位置关系:共面与否公共点个数,(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)公理5:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,(4)异面直线的夹角:定义:已知两条异面直线a、b经过空间任意一点O作直线aa,bb,我们把两相交直线a,b所成的锐
2、角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角(或夹角).范围:特别地:如果两异面直线所成的角是90,我们就称这两条直线互相垂直,记作ab.,3.空间中的直线与平面的位置关系,4.平面与平面的位置关系有两种,注意:符合语言:(1)点与线:Al,Al.(2)点与面:A,A.(3)线与线:l1l2,l1l2=O,l1与l2异面.(4)线与面:l,l(l=A,或l).(5)面与面:,=l.,考点陪练,1.下列命题中正确的是()A.三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线一定在同一平面内D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内解析:A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确.答案:D,2
3、.若A表示点,a表示直线,、表示平面,则下列表述中,错误的是()A.a,AaAB.a,AaAC.A,A,=aAaD.Aa,Aa,解析:a的含义是a上所有点都在平面上,故A正确;反之直线a上有一点不在上,就说明a,故D正确,但是a并不代表所有点都不在上,故B错误.C就是公理3,故C正确.答案:B,3.给出下面四个命题:如果直线ac,bc,那么a,b可以确定一个平面;如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面;如果ac,bc,那么a,b可以确定一个平面;直线a过平面内一点与平面外一点,直线b在平面内不过该点,那么a和b是异面直线.,上述命题中,真命题的个数是()A.1个 B.2个 C
4、.3个 D.4个解析:中,由公理4知,ab,故正确;中,a,b可能异面,故错误;中,a,b可能异面,故错误;正确.答案:B,4.在正方体ABCDABCD中,EF分别为棱AACC的中点,则在空间中与三条直线ADEFCD都相交的直线()A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有无数条,解析:在AD延长线上取一点H,使AD=DH,在DC延长线上取一点G,使CG=2DC,连接HG与EF交于一点,延长DC.连接DF必与DC延长线相交,延长DA,连接DE必与DA延长线相交.连接AC与EF交于EF中点,故选D.答案:D,5.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共有()这三条直线必共点
5、;其中必有两条是异面直线;三条直线不可能共面;其中必有两条在同一平面内A.4个 B.3个C.2个 D.1个,解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论不正确,也说明必有结论不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能在同一个平面内,结论正确;,三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任意两条都异面(如正方体ABCDA1B1C1D1中的棱AA1,BC和C1D1),故结论不
6、正确.故选D.答案:D,类型一点共线问题解题准备:证明共线问题的常用方法(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.,【典例1】已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别为D1C1C1B1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)DBFE四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则PQR三点共线.,解(1)如图所示,因为EF是D1B1C1的中位线,所以EFB1D1.在正方体AC1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF
7、,BD确定一个平面,即DBFE四点共面.,(2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为,又设平面BDEF为.因为QA1C1,所以Q,又QEF,所以Q.则Q是与的公共点,同理,P点也是与的公共点.所以=PQ.又A1C=R,所以RA1C,R且R,则RPQ,故PQR三点共线.,类型二线共点问题解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为证明三点共线.,【典例2】如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别为棱AB,AA1的中点.求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点.,证明 直线DA平面AD1,直线D1F平面AD1,
8、显然直线DA与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与直线CE相交于点M.又EF为棱ABAA1的中点,易知MA=AD,MA=AD,所以MM为直线AD上的同一点,因此,三条直线DACED1F交于一点.,反思感悟 设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线CE交于M,再证明M,M重合.证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于一点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:先证明其中两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本题可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既在平面AD1内,也在平面A
9、C内,所以点P在它们的交线AD上.,类型三线共面问题解题准备:证明共面问题的常用方法证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.,【典例3】已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d共面.证明 弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.,(1)当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设a,b,c相交于一点A,直线d和A确定一个平面.(如
10、右图)又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,则A,E,F,G,A,E,A,Ea,a.同理可证b,c,a,b,c,d在同一平面内.,(2)当四条直线中任何三条都不共点时,如右图.这四条直线两两相交,则设相交直线a,b确定一个平面.设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K.又H,Kc,c.同理可证d.a,b,c,d四条直线在同一平面内.,反思感悟 证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点”这一种情
11、况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.,类型四异面直线所成的角解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:直线平移,中位线平移,补形平移.2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线,作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角函数值.,【典例4】在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且ADBC,对角线 求AC和BD所成的角.,解 作平行线,找与异面直线所成的角相等的平面角,将空间问题转化为平
12、面问题.如图,分别取ADCDABBD的中点EFGH,连接EFFHHGGEGF.,由三角形的中位线定理知,EFAC,且EF=,GEBD,且GE=.GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理,GHAD,HFBC.又ADBC,GHF=90,GF2=GH2+HF2=1.,在EFG中EG2+EF2=1=GF2,GEF=90,即AC和BD所成的角为90.,反思感悟 立体几何中,计算问题的一般步骤:(1)作图;(2)证明;(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所
13、成的角通常放在三角形中进行.,错源一基本性质理解不到位【典例1】下列说法正确的有()(1)在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更平稳;(2)两个平面有可能只有一个公共点;(3)如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一定互相平行.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,剖析 错解对于基本性质理解不到位.在凹凸不平的地面上使用凳子是否平稳并不取决于凳子腿个数的多少,由基本性质2可知,三条腿的凳子更平稳;两个平面不可能只有一个公共点,由基本性质3可知,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条通过这个公共点的公共直线,也就是说,如果两个平面有一个公共点,则它们一定有无数
14、个公共点;由基本性质4可知,如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一定互相平行.正解 B,错源二 对基本性质及其推论的使用条件不当而致误【典例2】如图,已知直线a,b,c,ab,ac=A,bc=B,求证:a,b,c三条直线共面.错证 因为ab,所以a,b共面,因为ac=A,所以a,c共面,因为bc=B,所以b,c共面.所以a,b,c三条直线共面.,剖析 上述“证明”中出现了三次共面,设为1,2,3,由于无法得知1,2,3是否为同一平面,因此,不能说a,b,c三条直线共面.证明 因为ab,所以a,b可确定一个平面,设为.因为c=A,所以Aa,又a,所以A,同理B,故AB,即c.于是
15、a,b,c在同一平面内,即a,b,c三条直线共面.,技法一快速解题(动手操作)【典例1】已知直线a与直线b相交于点P,a与b夹角(交角中不大于90的角)为60,试问空间中过点P的所有直线中:(1)与直线a、b夹角均为10的直线有_条;(2)与直线a、b夹角均为30的直线有_条;(3)与直线a、b夹角均为45的直线有_条;(4)与直线a、b夹角均为60的直线有_条;(5)与直线a、b夹角均为80的直线有_条;(6)与直线a、b夹角均为90的直线有_条.,解题切入点 凭借空间想象能力,结合动手操作直线模型(选用几支铅笔作直线模型),本题即可轻松获解.解析 如图直线a、b夹角为60,l1、l2分别是
16、其夹角(60)及其补角(120)的角平分线,由l1是空间中与直线a、b夹角最小的直线知,与直线a、b夹角均为10的直线有0条;同理在图中,让l1与l2各在其所在的,与直线a、b确定的平面垂直的平面内转动,会得出与直线a、b夹角均为30的直线只有1条,即l1;,与直线a、b夹角均为45的直线有2条;与直线a、b夹角均为60的直线有3条;与直线a、b夹角均为80的直线有4条;与直线a、b夹角均为90的直线有1条.答案(1)0;(2)1;(3)2;(4)3;(5)4;(6)1,技法二辅助线的作用【典例2】过空间一点O作不在同一平面内的三条射线OAOBOC.求证:AOB,BOC的平分线和COA的邻补角的平分线在同一平面内.,证明 如图所示,在射线OAOBOC上分别取OD=OE=OF,设AOB,BOC的平分线分别交DEEF于GH,则GH分别为DEEF的中点,GHDF.设OM为COA的邻补角的平分线,则OM也是DOF的外角平分线,OMDF.,GHOM,GHOM确定平面,又OMGH,故OGOHOM在同一个平面内.方法与技巧 合理分析作出辅助线,利用公理及其推论证明共面.,
