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1、第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,学习目标,1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a，b，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因
2、为abO，所以a与b不是异面直线.,答案,不同在,(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.,(3)判断方法,2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类,答案,没有,有且只有一个,没有,(2)按两条直线是否有公共点分类,思考(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？,答案,答不一定.可能相交、平行或异面.,(2)两条垂直的直线必相交吗？,答不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直.,知识点二公理4(平行公理),答案,ab,同一条直线,知识点三空间等角
3、定理1.定理,答案,互补,相等,答案,2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？,答不一定.这两条直线可能相交、平行或异面,答案,知识点四异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的(或)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角的取值范围：.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相.两条互相垂直的异面直线a，b，记作.,ab,锐角,直角,090,垂直,4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取
4、一点O，过点O分别作aa，bb，则a与b所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.,返回,(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作aa)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).,题型探究 重点突破,题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行 B.异面 C.相交 D.平行、相交或异面,解析答案,解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCDABCD中，AD所在直线为a，AB所在
5、直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCDABCD中的BC，CC，DD.故a和c可以平行、相交或异面.,D,反思与感悟,反思与感悟,1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.,解析答案,跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；
6、(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_.,解析,答案(1)平行(2)异面(2)相交(4)异面,解析答案,题型二公理4、等角定理的应用例2E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.,反思与感悟,反思与感悟,证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1.所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以B1E綊C1Q.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以C1
7、Q綊FD.又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD.所以四边形B1EDF为平行四边形.,反思与感悟,1.空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2.求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.,解析答案,跟踪训练2 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；,证明在ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，EHBD.同理FGBD，
8、则EHFG.故E，F，G，H四点共面.,解析答案,(2)若四边形EFGH是矩形，求证：ACBD.,证明由(1)知EHBD，同理ACGH.又四边形EFGH是矩形，EHGH.故ACBD.,题型三异面直线所成的角例3如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角.,解析答案,反思与感悟,解如图，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，ABCD，所以EGCD，GFAB，,反思与感悟,所以GFE就是EF与AB所成的角或其补角，EGGF.因为ABCD，所以EGGF.所以EGF90.所以EFG为等腰直角三角形.所以GFE45
9、，即EF与AB所成的角为45.,反思与感悟,1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.,解析答案,跟踪训练3空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.,解取AC的中点G，连接EG，FG，,故直线GE，EF所成的锐角即为AB与EF所
10、成的角，直线GE，GF所成的锐角即为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由ABCD，知EGFG，EFG为等腰三角形.当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.,转化与化归思想,数学思想,例5在空间四边形ABCD中，ADBC2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF a，求异面直线AD，BC所成的角.,解析答案,解后反思,分析要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至一个三角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则EMF(或其补角)为所求角.解如图
11、，取BD的中点M.由题意，知EM为BAD的中位线，,解析答案,解后反思,所以EMa，MFa，且EMF(或其补角)为所求角.在等腰MEF中，取EF的中点N，连接MN，则MNEF.,解后反思,所以EMN60，所以EMF2EMN120.因为EMF12090，所以AD，BC所成的角为EMF的补角，即AD和BC所成的角为60.,解后反思,在求异面直线所成的角的过程中要注意：(1)通常将空间中的两条异面直线通过平移的方法，转化到同一个三角形中，将空间问题转化为平面问题求解；(2)要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成的角的补角，这是由异面直线所成角的范围是 决定的.,反证法的合理应用,解题技巧,例6如图
12、，三棱锥PABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.,解析答案,解后反思,返回,解后反思,分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面内，因为P，E，所以PE.又因为CPE，所以C.所以点P，A，B，C都在平面内.这与P，A，B，C不共面(PABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.,解后反思,反证法属于一种间接证明问题的方法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，再从这个假设出
13、发，经过正确的推理，导出矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法.用反证法证明一个命题的过程，大体上分为三步：(1)反设；(2)归谬；(3)下结论.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面,D,解析若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.,解析答案,2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交,B,1,2,3,4,5,解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中
14、，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.,1,2,3,4,5,解析答案,3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30角的异面直线()A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条,解析我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角.,A,解析答案,4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.(填序号),1,2,3,4,5,解析中，G，M是中点，AG綊BM，GM綊AB綊HN，GHMN，即G，H，M，N
15、四点共面；中，H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；,1,2,3,4,5,即GMNH是梯形，则HG，MN必相交，H，G，M，N四点共面；中，同，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面.答案,解析答案,5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为_.,1,2,3,4,5,解析设棱长为1，因为A1B1C1D1，所以AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在AED1中，,课堂小结,1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为，且090，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.,返回,
