《1.7随机变量函数的分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.7随机变量函数的分布.ppt（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、在实际问题中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。,例如，设随机变量X是圆轴截面的直径，Y是截面的面积，则Y,是 X 的函数，即,又如，某商品的单价为a，销售量X是随机变量，则销售,收入 Y 是 X 的函数，即 Y=aX。,一般地，若 yf（x）是定义在直线上的一个单调函数,或分段连续函数，X是一个随机变量，那么Yf（X）作为随,机变量 X 的函数，同样也是一个随机变量。,我们要讨论的问题是如何由X的分布去求 Yf（X）的,分布。由于函数关系在现实世界中大量存在，这个问题无论,在理论上或应用中都有重要意义。,2.7 随机变量函数的分布,1、离散型随机变量函数的分布律,设X一个随机变量，分布律为
2、 XPXxkpk,k1,2,若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.一般的，g(x)是一个连续函数,例1 已知 X 的概率分布为,求 Y 1=2X 1 与 Y 2=X 2 的分布律,解,或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）即：,一般地,X,Pk,Y=g(X),的值有相等时，则应先把那些相等的值,的概率分布,分别合并，同时把它们所对应的概率相加，即得出,例2（p48）已知 X 的概率分布为,X,pk,1 2 n,求 Y=cos（X）的分布律,已知 X 的d.f.f(x)或分布函数求 Y=g(X)的d.f.,方法
3、：,（1）从分布函数出发（2）用公式直接求d.f.,2、连续型随机变量函数的密度函数,（1）从分布函数出发若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PYyP g(X)y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“分布函数法”,例3.设X的密度函数为,解：先求Y的分布函数，再求其密度函数,一般地,若XfX(x),y=g(x)是区间（a，b）上单调可导函数，其反函数h(y)连续可导.且,注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的密度函数。2、注意定义域的选择,（2）公式法,则Y=g（X）的密度函数为,例4 设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解:Y=ax+b关于x严单,反函数为,故,而,故,例5 证明：设 X N(,2),Y=a X+b,则,即：Y N(a+b,a22),特别地，若 X N(,2),则,设随机变量X服从0，2均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。,定理23 若XfX(x)，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为,EX,例6 设随机变量X服从N(0,1)标准正态分布，求Y=X2的概率密度.,第一章第二 阶段小结.,
