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1、第二节 d.r.v.及其分布律,d.r.v.分布律的定义d.r.v.的表示方法三种常见分布小结,其中(k=1,2,)满足：,（2）,定义2：设 xk(k=1,2,)是d.r.v.X 所取的一切可能值，称,为d.r.v.X 的分布律.,用这两条性质判断一个函数是否是分布律,一、d.r.v.分布律的定义,解:依据分布律的性质,a0,从中解得,即,例2,设随机变量X的分布律为：,k=0,1,2,试确定常数a.,二、离散型随机变量表示方法,（1）公式法,（2）列表法,例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解：X可取值为0,1,2;,PX=0=(0.1)(0.1
2、)=0.01,PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18,PX=2=(0.9)(0.9)=0.81,常常表示为：,这就是X的分布律.,例4:某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.,解:显然，X 可能取的值是1,2,，,PX=1=P(A1)=p,为计算 PX=k，k=1,2,，,Ak=第k发命中，k=1,2,，,设,于是,可见,这就是求所需射击发数X的分布律.,例5 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的
3、个数，求X的分布律.,解:依题意,X可取值0,1,2,3.,PX=0=P(A1)=1/2,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,即,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,三、三种常见分布,1、（0-1）分布：（也称两点分布）,随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：,2.伯努利试验和二项分布,掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”,抽验产品：“是正品”，“是次品”,一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A 或.,这样的试验E称为伯努利试验.,“重复”是指这n次试验中P(A)=p 保持不变.,将伯努利试验E独立地重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试
4、验.,“独立”是指各次试验的结果互不影响.,实际模型 设事件A在一次试验中发生的概率为,现独立地重复试验n次，,从而A事件恰好发生k次的概率即为,若令X为n次试验中A事件发生的次数，,用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则,易证：,（1）,称 r.v X 服从参数为n和p的二项分布，记作,Xb(n,p),（2）,例6 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,解:因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数，,于是，所求概
5、率为：,则,X b(3,0.05)，,若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验.此时,只能用古典概型求解.,请注意：,伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律.,（2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或，,（3）各次试验相互独立.,且 P(A)=p，；,例7 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.,解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.,X b(3,0.8)，,把观
6、察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为事件A.每次试验,A 出现的概率为0.8,PX 1=PX=0+PX=1,=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,例 3：设某一机器加工一种产品的次品率为0.1，检验,员检验4次，每次随机抽取5件产品进行检验，如果发现多,于1件次品，就要调整机器，求一天中调整机器次数的概,率分布及其数学期望。,解：以X表示取出5件产品中的次品数，,整的次数为Y，,3.泊松分布,设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,且概率分布为：,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作X().,泊松分布的方便之处在于，其概率的计算
7、可以利用编制好的泊松分布表来进行。,如当 时,泊松定理：设XB(n,p),如果当,则有,证明：,在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,例：已知一大批产品的废品率为0.005，从中任取1000,件，试求：（1）
8、其中至少2件废品的概率；（2）其中废品,数不超过5的概率；（3）以不小于90%的保证，其中废品,数至多不超过多少？,解：抽出1000件中，废品个数X是一个随机变量，,由于产品数量很大，,因此每次抽取出废品的概率p可看作相等,故有XB(n,p),根据泊松定理，X近似,例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？,解:,设该商品每月的销售数为X,已知X服从参数=5的泊松分布.,设商店在月底应进某种商品m件,进货数,销售数,查泊松分布表得,PXm 0.05,也即,于是得 m+1=10,m=9件,或,对于离散型随机变量，如果知道了它的分布律,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说,这一节，我们介绍了离散型随机变量及其分布律，并给出两点分布、二项分布、泊松分布三种重要离散型随机变量.,离散型随机变量由它的分布律唯一确定.,四、小结,练习题,
