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1、第七章 n元实二次型,二次齐次多项式,f(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2 a13xz+2 a23yz,称为实二次型.,其中aij 为实常数.,一、三元二次型及其表示,取 a21=a12,a31=a13,a32=a23,从而,2a12xy=a12xy+a21yx,2a13xz=a13xz+a31zx,2a23yz=a23yz+a32zy.,f=a11x2+a12xy+a13xz,+a21yx+a22y2+a23yz,+a31zx+a32zy+a33z2,=x(a11x+a12y+a13z),+y(a21x+a22y+a23z),+z(a31x+a32y+a33
2、z),=XT AX.,称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.,三元实二 次 型 f,三阶实对称矩阵 A,一一对应,A,X,二、n 元二次型及其矩阵表示,称 n 元实二次齐次式,为 n 元实二次型.,记 aij=aji,则,记 X=(x1,x2,xn)T,A=(aij)nn,则,f(x1,x2,xn)=X TAX,其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.,由于aij=aji,所以 A T=A,A中 aii 是 xi2 的系数,aij 是交叉项 xixj 系数的一半.,注:,n 元实二次型 f,n 阶实对称矩阵 A,一一对应,定理:n元实二次型XTAX可经坐标变换X=CY(C为可逆实矩阵)化为二次型YTBY,其中B=CTAC,定义:对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B，若存在可逆矩阵 P 使,P TAP=B,因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.,三.n元实二次型的标准形,称只含平方项的二次型,为标准二次型.,
