《2.2平面向量的线性运算2.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2.2平面向量的线性运算2.ppt(40页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、2.2.1向量加法运算及其几何意义,新课导入,物理学中,两次位移 的结果和位移 是相同的。2.物理学中,作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得?3.两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出,本节将研究向量的加法。,向量的加法,已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 a,b,则向量 叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则,简记“首尾相连,首是首,尾是尾”。,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平行四边形ABCD则以O为起点的对角线 就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四
2、边形法则。,向量的加法,对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a,向量的加法,已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。解:,当在数轴上表示两个共线向量时,它们的加法与数的加法有什么关系?,两个向量的和仍是一个向量。当a,b不共线时,a+b的方向与a、b都不同向,且|a+b|b|时,a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;当|a|b|时,a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|.,数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?,作图验证,一艘船以 km/h的速度向垂直于对
3、岸的方向行驶,同时河水的流速为2km/h,求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)。,1.课本P93,1、2、3、42.摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具,设它在静水中的航行速度是每小时25千米,如果当时的水流速度是每小时15千米,那么该摩托艇向下游航行时,每小时能行_千米,它向上游航行时,每小时能行_千米.,40,10,2.2.2 向量减法运算及其几何意义,向量的减法,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?,相反向量,规定与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a,显然-(-a)=a,规定,零向量的相反向量仍是零向量。,向量减法的定义,任一向量
4、与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0,所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0,定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。,运算法则,已知a、b,a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.解:,练习3:课本P96 练习1、2、3练习4:判断下列等式是否成立:(1)a+b=b+a()(2)a-b=b-a()(3)0-a=a()(4)-(-a)=a()(5)a+(-a)=0(),在学习向量加法概念时,要结合物理学理解向量加法的意义;要熟练地掌握向量加法的平行
5、四边形法则和三角形法则,并能做出已知两个向量的和向量;要理解向量加法的交换律和结合律,能说出这两个向量运算律的几何意义;理解向量减法的意义;能作出两个向量的差向量。,习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8,习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8,2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),并说明它们的几何意义.把a+a+a记作3a,显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的3倍,即|3a|=3|a|.同样,(-a)+(-a)+(-a)=3(-a),显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的3倍,这样3(-a
6、)=-3a.,向量数乘,实数与向量a的积是一个向量,称为向量的数乘,记作a,它的长度与方向规定如下:(1)|a|=|a|;(2)当0时,a的方向与向量a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反.,特别地,当=0或a=0时,a=0;当=-1时,(-1)a=-a,就是a的相反向量.,实数与向量的积的运算律,设、为实数,那么(1)(a)=()a;(结合律)(2)(+)a=a+a;(第一分配律)(3)(a+b)=a+b.(第二分配律)特别地,有(-)a=-(a)=(-a),(a-b)=a-b.,计算:(1)(-3)4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c
7、).,解:(1)原式=(-34)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.,引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?,对于向量a(a0)、b,如果有一个实数,使b=a,那么由向量数乘的定义知:a与b共线;反过来,已知向量a与b共线,a0,且向量b的长度是向量a的长度的倍,即|b|=|a|,那么当a与b同向时,有b=a,当a与b反向时,有b=-a.,向量共线定理:向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a.,OA,向量的线性运算,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b,以及任意实数、1、2,恒有(1a2b)=1a2b.,DB,练习1:课本P100 1、2、3、4练习2:设a、b是两个不平行的向量,且x(2a+b)+y(3a-2b)=7a,x,yR,则x=_,y=_.,2,1,1 理解实数与向量的积的意义,能说出实数与一 个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向 间的关系;2 能说出实数与向量的积的三条运算律,并会运 用它们进行计算;,3 能表述一个向量与非零向量共线的充要条件;4 会表示与非零向量共线的向量,会判断两个向 量共线.,习题2.2 A组5、9、10、11、12、13,