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1、Chapter 2(2),连续型随机变量及概率密度,教学要求：,1.理解连续型随机变量的概率密度及性质;,2.掌握正态分布、均匀分布和指数分布;,3.会应用概率密度计算有关事件的概率.,一、连续型随机变量的概率密度,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,1.连续型r.v及其密度函数的定义,2.概率密度函数的性质,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.,注意:,(1)F(x)为连续函数;,(2)概率为0的事件，不一定是不
2、可能事件；同样地 概率为1的事件，不一定是必然事件.,(3)对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不 考虑端点的情况，而离散型随机变量得特别注意.,(4)可由分布函数求分布密度，对于 不存在 的点可人为的补充定义.,ex1.设X的分布函数为,求X的分布密度,解,而端点处情况可人为规定.,ex2.设随机变量X的密度函数为,解,二、几种常用的连续型分布,1.均匀分布,若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X U(a,b),它的实际背景是：r.v X 取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有(a,b)
3、上的均匀分布.,其分布函数为:,2.指数分布,若 r.vX的概率密度为：,其分布函数为:,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为,某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，写出X的分布律并求,解,以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间，,则顾客未等到服务而离去的概率为,三、正态分布,1.正态分布的定义,如果连续型随机变量X的概率密度为,称X服从标准正态分布.,2.正态分布的分布函数,由于 是概率密度函数，因此.从而,有 上述两个式子请熟练掌握，它
4、在以后的计算中经常用到,3.正态分布的简单性质,证,另外还有几个重要公式：,证,注意,用于利用标准正态分布表计算事件的概率.,分布密度函数图形中,越大,曲线越平坦;越小,曲线越尖陡.,4.分位点,说明:,解,同理,可见,服从正态分布 的随机变量X，虽然理论上可以取任意实数值，但实际上它的取值落在区间 内的概率约为68.26%;落在区间 内的概率约为95.44%,落在区间 内的概率99.74%.因此,服从正态分布 的随机变量X落在区间 之外的概率约0.26%,还不到千分之三，这是一个小概率事件，在实际中认为它几乎不可能发生，这就是著名的“”准则它在实际中常用来作为质量控制的依据 在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试的成绩等正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重要的地位,解,四、注意事项及课堂练习,注意区别以下概念：,离散型：概率分布、分布律,连续型：概率密度、分布密度、密度函数,The end,
