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1、第六章 方差分析(一),第一节 方差分析的基本概念,一、目的：Analysis of variance ANOVA用于检验两个或两个以上样本均数间差别有无统计意义二、样本均数间差别的原因(变异的来源)：1、总变异：全部试验数据大小不等。用观察值与总均数的离均差平方和sum of squares of deviations from mean表示，记为SS总，或l总;总的自由度总N1,2、组间变异：各处理组的样本均数大小不一，用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间或l组间，组间自由度 组间k-1。MS组间l组间/组间组间变异反映的是处理因素的作用，同时也包括随机误差均方：mean s
2、quare,MS,3、组内变异：各处理组内部观察值大小不等，用各处理组内部每个观察值与组均数的离均差平方各表示，记为l组内。组内(n1-1)+(nk-1)=N-kMS组内l组内/组内组内变异反映的观察值的随机误差，如个体差异和随机测量误差,4、三种变异的关系l总l组间l组内总N1(k-1)+(N-k)=组间组内,三、方差分析的基本思想：总变异可分解为组间变异和组内变异两个部分，相应的总自由度也分解为组间自由度和组内自由度。如果各样本均数来自同一总体，即各组之间无差别，则组间变异和组内变异均只反映随机误差，这时若计算组间均方与组内均方的比值，FMS组间/MS组内，应接近1。反之，若各样本均数不是
3、来自同一总体，组间变异较大，F值将明显大于1。要大到多大程度才有统计学意义？,这个程度就是与随机误差而言。即以随机误差进行衡量，若处理组间的变异明显大于组内变异，则不能认为组间的变异仅反映随机误差，也就是说处理因素有作用。R.A.Fisher于20世纪20年代推导出在无效假设成立的情况下，统计量F的分布规律。1934年G.W.Snedecor以Fisher的名字命名了这一分布，称F分布，故ANOVA又称F检验。F(组间，组内)查表,基本思想：根据资料变异的不同来源，将全部观察值总的离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用(或某几个因素的交互作
4、用)加以解释，如各组均数间的变异SS组间，可由处理因素的作用加以解释，通过比较不同变异来源的均方，用F分布作出统计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。,注意：1、ANOVA与试验设计类型联系在一起，并非任何变异都有适当的分解。2、数据要求：各次观察独立，即任何两个观察值间均不相关；每一水平下的观察值xij分别服从总体均数为 ij的正态分布；各总体的方差相等，即方差齐性homogeneity of variance.(任何观察值都是独立地来自具有等方差的正态总体),第二节 完全随机设计的单因素ANOVA(one-way ANOVA),按完全随机化的原则将受试对象随机分配到一个研究因素的多个水
5、平中去，然后观察试验效应。目的：比较不同水平下，各组均值间的差别是否具有统计学意义,基本步骤：P59，例61为例1、建立检验假设和确定检验水准：Ho：4种衣料吸附硼氢量的总体均数相等，即 1 2 3=4H1：4种衣料吸附硼氢量的总体均数不全相等0.052、计算检验统计量F值：如下表,成组设计方差分析计算表,以P59表61实例进行计算：先计算基本数据结果，再代入上表的公式计算：C、SS、MS、F等一般将计算结果列为表62的形式，见P613、确定P值和作出统计推断结论按计算所得F值：11.1644，查附表62，表中1指分子均方的自由度，2为分母均方的自由度。F=11.164F0.01(3,16)=
6、5.29，故P0.01。认为四组均数间差别有高度统计学意义,各组样本含量相等和各组样本含量不等时，计算的基本方法完全一样，只是在计算l组间时有所不同，相等时将ni直接用n计算即可。举例：P61，例62,第三节 随机区组设计的ANOVATwo-way ANOVA,一、概念：1、随机区组设计randomized block design,亦称配伍组设计：应用分层的思想，事先将受试对象按某种或某些特征分为若干个区组block，使每个区组内的观察对象的特征尽可能的相近。每个区组内的观察对象数与研究因素的水平数相等，分别使每个区组内的观察对象随机地接受研究因素某一水平的处理。,2、此外，同一受试对象不同
7、时间点上的观察，或同一样本给予不同处理的比较，亦当作随机区组设计进行分析。3、由于区组内个体特征比较一致，减少了个体间变异对结果的影响，统计效率高，易检出组间的差别。4、用两因素方差分析two-way ANOVA，两因素指研究因素和区组因素。研究因素有k个水平，共n个区组。5、当k=2时，两因素方差分析等价于配对t检验，且F=t2,二、随机区组设计方差分析中变异的分解：总变异分解为：处理组间变异、误差、区组间变异(新增的，用ss区组l区组表示，大小为各区组均数与总均数的离均差平方和)。ss总ss处理ss区组ss误差自由度分解：总 处理 区组 误差N1(k-1)+(n-1)+(k-1)(n-1)
8、.k为处理组数，n为区组数，N为总例数,三、分析计算步骤：例63，P 631、建立检验假设和确定检验水准H0：放置不同时间的血糖浓度相等，即 1 2 3 4H1：放置不同时间的血糖浓度不全相等0.052、计算检验统计量F值，根据下表计算公式计算,随机区组方差分析计算公式,3、确定P值和作出推断结论放置时间的F值0.9681/0.0125=77.44受试者间的F值0.3569/0.0125=28.55查附表62，1(处理)3，2(误差)21，F0.05(3,21)=3.07,F0.01=4.87;当 1(区组)7，2(误差)21，F0.05(7,21)=2.49,F0.05=3.64F均F0.0
9、1，P0.01，说时放置时间长短对血糖浓度的变化是有影响的。另外，不同受试者间血糖浓度亦有差别。,第四节 均数间的相互比较,一、几点说明1、ANOVA并不能回答哪几个均数间差别有统计学意义，需进一步做两两间的多重比较multiple comparison2、两两比较，不可用t检验，因为会增加第一类错误的概率。k个样本均数可做k!/2!(k-2)!次比较，如：5个样本10次，不犯第一类错误的概率为(1-0.05)10=0.5987，正确接受全部10次无效假设的概率，一类错误概率为1-0.5987=0.4013,二、常用的多重比较的方法,1、LSD-t检验：称最小有意义差别(least signi
10、ficant difference)t检验，检验k组某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数dAB=XA-XB的总体水平是否为0。,算得的t值以误差自由来查t值表与前述t检验的的不同：举例说明计算过程:t0.001(16)=4.015,LSD t 检验,2、Dunnett-t 检验,用于k-1个实验组与一个对照组均数差别的多重比较：P66，例6-5,Dunnet t 检验,3、Student-Newman-Keuls法,SNK法，检验统计量为q，通常称q检验用于多个样本均数间的两两比较,SNK q 检验,比较时应将均数按大小顺序排列，一般先比较相关最大的两个均数q的分布与两比较组间跨度a及自由度
11、有关。组间跨度a(对比组内包含组数a)是指XA与XB之间涵盖的均数个数，包括XA与XB自身在内MS误差为误差均方或组内均方依q值、组间跨度a(处理数Ti)、误差自由度及检验水准查q值表，qq(a,)时，有统计学意义(P553,附表64),两两比较方法选用,1、在研究设计阶段未预先考虑或预料到，经假设检验得出多个总体均数不全相等的提示后，才决定的多个均数的两两事后比较(post hoc comparisons/unplanned comparisons)，常用于探索性研究exploratory research，两两比较用：SNK法、Bonfferoni t检验、Sidak t检验,2、在设计阶
12、段就根据研究目的或专业知识而计划好的某些均数间的两两比较(planned contrasts/comparisons)或称事前beforehand 比较，常用于事先有明确假设的证实性研究confirmatory research，如多个处理组与对照组的比较、某一对或某几对在专业上有特殊意义的均数间的比较，用Dunnett-t检验、LSD-t检验，也可用Bonfferoni t检验（该方法最保守）或Sidak t检验,第五节 拉丁方设计资料的方差分析*,一、拉丁方设计latin square design:设计因素(标志)两个以上，各因素的水平数相同，可用此设计。拉丁方是以拉丁字母排列的方阵的简
13、称。二、分析步骤：，例6-6，P681、求C2、求l总3、求l受试者,4、求l日期5、求l防护服6、求l误差7、自由度：总格子数减1为总变异自由度，防护服间、受试者间、试验日期间均为n-1=5-1=4;误差自由度=总自由度-防护服间-受试者间-试验日期间=24-4-4-4=128、列拉丁方分析表，见P70，表6-169、查表，判断结果,优点：可以从较少的实验数据获得较多的信息，比随机区组设计来得优越。(控制受试者间个体的差异，及实验日期间的差异)缺点：各因素间有交互作用时，不适用。实施时，要求各因素的水平数相等，实际中不易办到。拉丁方可由统计书中查到，亦可自己编写。,第七节 方差齐性检验,检验
14、多个样本的方差齐性用 Bartlett法一、各组样本含量相等时：P71，例6-7卡方值略大于某一临界值时，应计算校正卡方值，公式见P72,二、各样本含量不等时：P72，例6-8Bartlett法在各样本含量相等时是不敏感的。所以各组样本含量相差不大，各组S2相差不过大，可不必进行Bartlett检验。,第七节 近似F检验,方差不齐时：采用以下两方法1、对原始数据进行转换2、用加权的方法计算加权的方差进行F检验，即近似F检验(F检验或pseudo F test)，具体计算方法，参见P7374,第八节 变量变换,ANOVA的要求：任何观察值都独自地来自具有等方差正态总体。不能满足时，可导致F值偏大
15、，从而有增加第一类错误的危险，尤其违反独立性假设时，影响较为严重。明显偏离可进行变量变换。样本例数较多时，对总体的正态性并不苛求；每组样本例数相等时，对方差齐性亦不苛求，故最好采用例数相等的平衡设计方案。,一、变量变换：是将原始数据作某种函数转换，可使各组达到方差齐性，亦可使资料转换成正态分布，以满足方差分析和t检验的要求。通常适当转换，可同时满足以上两个目的。二、常用方法1、对数变换logarithmic transformation X=lgX;X=lg(X+1);X=lg(X+k);X=lg(X-k)用于：1)、使服从对数正态分布的数据正态化。如环境中某些污染物的分布，人体中某些微量元素
16、的分布,2)、使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数接近一个常数时2、平方根转换square root transformation常用于：1)、使服从Poisson分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化2)、当各样本的方差与均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性,3、倒数转换reciprocal transformationX=1/X常用于：数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小4、平方根反正弦变换arcsine transformation常用于：服从二项分布的率或百分比的资料。一般认为总体率较小(如70%)时，偏离正态较为明显，通过平方根反正弦转换可使资料接近正态分布，达到方差齐性要求,说明：使用数据转换进行方差分析后，各均数间差别的比较及可信区间的计算，应该用转换后的数据进行计算，而当分析最终结论时，需返回原测量单位加以说明。,
