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1、23.9.14,一、随机变量,2.1 随机变量及分布函数,上述变量都定义在样本空间上,具有以下特点：,(1)变量的取值由随机试验的结果来确定;,(2)取各数值的可能性大小有确定的统计规律性.,随机变量的实例,23.9.14,上述变量称为随机变量,它可以完整地描述试验结果，从而可用量化分析方法来研究随机现象的统计规律性.,随机变量的引进是概率论发展进程中的一次飞跃,引进随机变量是将随机试验数量化，是对随机现象进行量化分析的重要手段.,23.9.14,定义：设E 的样本空间为W，对于每一个样本点w W，都有唯一实数X(w)与之对应,且对于任意实数x，事件 w|X(w)x 都有确定的概率，则称X(w
2、)为随机变量，简记为X.,注,且使PXx总有意义.,23.9.14,1)将样本空间数值化、变量化(但不同于通 常非随机变量)；,随机变量的优越性,2)可以完整地描述随机试验；,3)可用微积分等数学工具来解决随机问题.,二、分布函数,从随机变量定义可见，对任一实数 x 都有实数P w|X(w)x 与之对应，即构造了一个函数.,23.9.14,定义 设X是一个随机变量，x 是任意实数，称函数 F(x)=P X x=P w:X(w)x,为随机变量X 的分布函数,F(x)也记为FX(x).,注1 分布函数F(x)的函数值表示事件“随机点X落在(,x 内”的概率.,X,23.9.14,注2 F(x)的改
3、变量 DF=F(x+Dx)F(x)=Px X x+Dx,X,是事件“随机点X 落在(x,x+Dx 内”概率.,23.9.14,分布函数的性质：,（1）F(x)为单调不降函数,即若 x1 x2，则有F(x1)F(x2).,（2）0F(x)1，且,（3）F(x)是右连续函数,即,F(x+0)=F(x),从而有 PX=x=F(x)F(x-0),23.9.14,可用分布函数的性质确定某一函数是否为随机变量的分布函数，或用来求解分布函数.,23.9.14,E2 测量某零件长度 x 和直径y 产生的误差.,E1 抛一枚硬币,观察其出现正面H和反面T的情况.,用Z 表示抛一次硬币时出现正面的次数,则 Z(H
4、)=1，Z(T)=0.,生的误差,则,23.9.14,#,用Y表示检查 N 件产品中的次品数，有,E3 检验 N 件产品中的次品,Y(k)=k,k3,3=0,1,2,N.,E4 用 X表示人的身高,有 X(x)=x,x 4=(0,),共同特点:以上变量都是定义在样本空间上的变量.,23.9.14,例1 一个庄家在一个签袋中放有8个白、8个黑的围棋子.规定：每个摸彩者交一角钱作“手续费”，然后从袋中摸出五个棋子，按下面“摸子中彩表”给“彩金”.,解 用 i 表示“摸出的五个棋子中有 i 个白子”，则试验的样本空间为=0，1，2，3，4，5,23.9.14,用Y(单位:元)表示赌徒摸一次得到的彩金
5、，则有,Y(i)=0，i=0，1，2Y(3)=0.05，Y(4)=0.2，Y(5)=2,Y 是定义在上的随机变量,对于每一个 i,都有一个实数与之对应.,并且,23.9.14,对于任意实数x，X()x 是一个随机事件，从而有确定的概率.,例如,彩金不到两元的概率接近99%.,23.9.14,总结 从本例中可看到，随机变量Y完整地描述了试验的全过程，而不必对每一个事件个别进行讨论.,#,进一步，可将微积分等数学工具用于对随机试验的分析.,23.9.14,例2 一袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，试写出球上号码X 的分布函数.,解：由题意有,当x-1时,F(x)=P
6、 Xx=P(f)=0.,X,23.9.14,当-1 x 2时,F(x)=PXx=PX=-1=1/6.,X,当2 x 3时,F(x)=P Xx=PX=-1+PX=2=2/3.,X,23.9.14,当3 x 时,F(x)=PXx=P=1.,X,综上所述,可得,23.9.14,是右连续的单调不降阶梯函数，在不连续点处的阶跃值恰为PX=k,k=-1,2,3.,#,23.9.14,例3 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布函数.,解 由题意有,当x 0时,F(x)=P Xx=P()=0.,当x 2时,F(x)=P Xx=P()=1.,X,23.9.14,当0 x 2时,由题意知 P 0 Xx=k x2其中k为一常数.,另一方面 1=P 0 X 2=4 k k=.,F(x)=P Xx,分布函数为:,=P X0+P 0 Xx,23.9.14,#,处处连续单调不降有界函数,23.9.14,解 分布函数F(x)在x=b 处右连续，,F(b)=k(b-a),例4 随机变量X 的分布函数为,求k=?,#,
