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1、2.4.3 综合法与反证法,例5 如图2-8，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O，过点O作一条直线分别与边AB，DC交于点E，F.OE=OF吗？你能给出证明吗？,OE=OF.,图2-8,图2-8,1=2.(两直线平行，内错角相等),在OAE与OCF中，,1=2，3=4，(对顶角相等),OA=OC，(平行四边形的对角线互相平分),OAEOCF.(角边角),从而OE=OF.(全等三角形的对应边相等),你能利用“平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心”这条性质，来证明上题结论OE=OF吗？,图2-8,举例,例6 已知：如图2-9，在ABC中，边AB，BC，AC的 中点分别为D，E
2、，F，连接DF，FE.,图2-9,求证：（1）四边形BEFD是平行四边形；,（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.,图2-9,（1）四边形BEFD是平行四边形；,（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.,已知：如图2-10，在ABC中，D，E，F分别是边 AB，AC，BC的中点，连接DE，AF 求证：AF与DE互相平分,图2-10,DF，EF,E，F分别为AC，BC的中点,DFAC,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,DE与AF互相平分,平行四边形两对角线互相平分,图2-10,由此我们可以得到下面的结论：,三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.,1.证明：平行四边形的两条对角线的
3、交点到一组 对边的距离相等,2.证明：四个角都相等的四边形是矩形.,等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？,相等.,举例,例5 证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距 离相等已知：如图2-11，在等腰梯形ABCD中，上底DC的 中点为E，连接EA，EB 求证：EA=EB,证明:在ADE与BCE中，,图2-11,AD=BC，(等腰梯形的定义),DE=CE，(已知)D=C，(等腰梯形在同一底上的两个角相等),ADE BCE.(边角边),从而 EA=EB.(全等三角形的对应边相等),剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一条边的垂直平分线，从三条折痕看出，它们是否相交于一点？由此你能作出什么猜测？你
4、能证明这个猜测为真吗？,证明思路是：去证三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂直平分线上.,举例,例6 已知：如图2-12，在ABC中，边AB，BC的 垂直平分线相交于点O 求证：点O在边AC的垂直平分线上,证明 连接OA，OB，OC,点O在线段AB的垂直平分线上，,OA=OB.(垂直平分线的性质定理),同理 OC=OB.,因此 OA=OC.(等量代换),从而点O在线段AC的垂直平分线上.(到线段两 端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上),图2-12,从例6立即得到:,三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等,举例,例7 证明：两条直线被第三条直线所截，如果
5、同旁 内角不互补，那么这两条直线必相交.已知：如图2-13，直线AB，CD被直线MN所截，同旁内角1和2不互补.求证：直线AB与CD相交.,图2-13,证明 假如直线AB与CD不相交，,图2-13,则它们没有公共点，,从而ABCD.,于是1与2互补(两直线平行，同旁内角互补).,这与已知条件矛盾.因此直线AB与CD相交.,像例7那样，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.,1.已知：在ABC中，A与B的平分线相交于点O.求证：点O在C的平分线上.,2.从第1题中，你能得出什么结论呢？,答：三角形的三条角平分线相交于 一点，并
6、且这一点到三边的距 离相等.,1.已知：在ABC中，A与B的平分线相交于点O.求证：点O在C的平分线上.,3.证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线必相交,已知：AB，CD被直线MN所截，同位角1，2不相等.求证：AB与CD相交.证明：假如直线AB与CD不相交，则它们无公共 点，从而ABCD，于是1=2，与已 知矛盾.因此AB与CD必相交.,例1,如图1，已知：在ABC中，AB=AC，在AB上取点D，又在AC延长线上取点E，使CE=BD，连接DE交BC于G点.求证：DG=GE.,例2,如图，已知：AD=BC，AB=DC，DE=BF.求证：BE=DF.,例3,如图，点C、D在ABE的边BE上，BC=ED，AB=AE.求证：AC=AD.,找出一个例子，它符合命题的条件，但它不符合命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例,从命题的条件出发，运用定义、公理和已证明过的定理，经过推理，证明命题的结论成立，这种证明方法称为综合法,先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法,习题2.4（B）第1题,
