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1、2.3 平面向量的基本定理及坐标表示,2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示,问题提出,1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？,2.怎样理解向量的数乘运算a？,（1）|a|=|a|；,（2）0时，a与a方向相同；,0时，a与a方向相反；,=0时，a=0.,3.平面向量共线定理是什么？,5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.,平面向量基本定理和正交分解及坐标表示,探究（一）：平面向量基本定理,思考1：给定平面内任意两个
2、向量e1，e2，如何求作向量3e12e2和e12e2？,思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？,思考3：在下列两图中，向量不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使？,思考4：在上图中，设=e1，=e2，=a，则向量 分别与e1，e2的关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如何？,思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数1，2是否存在？是否唯一？,思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用1e12e2表示吗？,a=1e1+0e2,a=0e1+2e2,思考7：根据上述
3、分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？,若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.,思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？,若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.,探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示,0，180,思考2：如
4、果向量a与b的夹角是90，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？,思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？,思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 axiyj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.
5、那么x、y的几何意义如何？,思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量 a，则(x，y)，此时点A是坐标是什么？,A(x,y),理论迁移,例1 如图，已知向量e1、e2，求作向量2.5e13e2.,例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.,a=(2,3),b=(-2,3),c=(-2,-3),d=(2,-3),例3 如图，在平行四边形ABCD中，=a，=b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量 和.,小结作业,1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.,2.向量
6、的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0或180，垂直向量的夹角是90.,3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.,作业：P102习题2.3B组：3，4.,2.3.3 平面向量的坐标运算,2.3.4 平面向量共线的坐标表示,问题提出,1.平面向量的基本定理是什么？,若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.,2.用坐标表示向量的基本原理是什么？,设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若axiyj，则a
7、(x，y).,3.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等.,平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,探究（一）：平面向量的坐标运算,思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a（R）如何分别用基底i、j表示？,ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.,思考2：根据
8、向量的坐标表示，向量 ab，ab，a的坐标分别如何？,ab(x1x2，y1y2);ab(x1x2，y1y2);a(x1，y1).,ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.,思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？,两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.,ab(x1x2，y1y2);ab(x1x2，y1y2);a(x1，y1).,思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量 的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？,(x2x1，y2y1).,
9、任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.,思考5：在上图中，如何确定坐标为(x2x1，y2y1)的点P的位置？,思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 如何计算？,探究（二）：平面向量共线的坐标表示,思考1：如果向量a，b共线（其中b0），那么a，b满足什么关系？,思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？,ab.,向量a，b（b0）共线,思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点，
10、如何用向量方法求点P的坐标？,思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线P1P2上一点，且，那么点P的坐标有何计算公式？,理论迁移,例1 已知a=(2,1),b=(3,4),求 ab，ab，3a4b的坐标.,ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19).,D（2，2）,例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且ab，求y的值.,y3,例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？,，A、B、C三点共线.,小结作业,1.向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化.,2.对于两个非零向量共线的坐标表示，可借助斜率相等来理解和记忆.,3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标，判断点共线等问题，这是一种向量方法，体现了向量的工具作用.,作业：P100练习：2，4.P101习题A组：1，3，4，5.,
