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1、第四节随机变量函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积 A=的分布.,例如，已知圆轴截面直径 D 的分布，,设随机变量X 的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,下面进行讨论.,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，,例1,设r.v.X的分布律为,求 Y=2X+3 的概率函数.,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,一般
2、，若X是离散型 r.v，X的分布律为,则Y=g(X)的分布律为,如：,X的分布律为,则 Y=X2 的概率函数为：,即,Y的分布律为,三、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P(Y y)=P(2X+8 y),=P(X)=FX(),于是Y 的密度函数,1、一般方法,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解：设Y和X的分布函数分别为 和，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X,从而
3、得到与 g(X)y 等价的X的不等式.,用 代替 X2 y,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.,通常称为分布函数法。,若Xf(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)P(Yy)P(g(X)y),然后再求Y的密度函数,分布函数法的步骤：,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.,2、公式法：,其中，,此定理的证明与前面的解题思路类似.,x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可
4、导，且对于任意x,恒有 或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,如,注：1 只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数。2 注意定义域的选择,例已知XN(,2),求,解：,的概率密度。,关于x严单,反函数为,故,例5 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当 y 0时,当 y 1时,故,解：注意到,不合定理条件,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,解：当0y1时,例5 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当0y1时,解：,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,而,求导得:,
5、或,对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X)y.,这一讲我们介绍了随机变量函数的分布.,练习 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,练习 设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a0),解:Y=ax+b关于x严单,反函数为,故,而,故,思考 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单增的连续函数,证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明:设Y的分布函数是G(y),于是,对y1,G(y)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X)y),=P(X(y),=F(y)=y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见,Y 服从0，1上的均匀分布.,本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.,
