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1、向量空间,一个数域上的所有n维向量，在向量的加法和数乘之下构成一个向量空间。实数域上的称为欧式空间，复数域上的称为酉空间。在向量空间中我们可以用新的视野来看待线性方程组。,可以理解为方程的常数向量,是否可以表示为系数矩阵列向量的线性组合,线性方程组解的研究可以转换为向量的线性关系研究,向量空间（线性空间）的抽象定义,1、线性空间的公理化定义应注意以下要素：非空集合、加法和数乘运算、运算规则、特殊元,另一个定义,常见的线性空间举例,1、常见的Rn，能够直接感受到的R2，R3空间,2、R3空间中所有有向线段的集合，在平行四边形加法和数乘运算下,3、数的双向无穷序列，在无穷序列的加法和数乘运算下,4
2、、所有次数不超过指定数字n的实数多项式,5、所有指定阶数的实数矩阵,6、0,1上所有的实数函数,线性空间中的特殊元,线性空间的元素0和-u是唯一的,向量空间的结构,主要讨论向量空间中向量之间的关系和表示,1、向量的线性相关和线性无关非零向量、两个向量之间的倍数关系、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组、维数和有限维向量空间,2、向量空间的基、坐标基：以上所有的讨论都基于有限维线性空间。极大线性无关组称为基（不止一个，所含向量个数相等）一组向量作为基具有的条件：相互线性无关；空间中的任何向量都可以由其线性表示。坐标：一个向量u用一个基线性表示时所用的系数与基中向量次序对应所构成的标量组，
3、坐标与基和讨论的元素有关。,3、基变换、过渡矩阵,研究线性空间中向量在不同基下的坐标之间的关系，在图像图形处理中经常用的,基本前提,如果,可得,子空间的定义四个基本子空间,1、子空间的定义，一个线性空间的非空子集如果对加法和数乘运算是封闭的。注意R2不是R3的子空间。,2、生成子空间、矩阵的列空间、行空间、零空间,零空间,列空间,左零空间,一个mn矩阵A的左零空间是矩阵AT的零空间，是Rm的子空间,行空间,一个mn矩阵A的行空间是矩阵AT的列空间，是Rn的子空间,基本子空间的维数和基,基本子空间的基和维数都与矩阵的等价阶梯型有关，阶梯型矩阵中的主元个数等于Col(A)和Raw（A）的维数，也等
4、于矩阵A的秩，記作r；,Rul(A)的维数等于n-r;Rul(AT)的维数等于m-r。,Col(A)的基是阶梯型矩阵中主元列在A中对应列；,Raw（A）的基是阶梯型中主元所在行；,Rul(A)的基是阶梯型中非主元列依据自由变量的改进，即非主元列本身加上ei i位自由变量的序号；,Rul(AT)的基是EA=R中，E的对应R中0行向量的行；,内积和正交,内积的定义：从线性空间到正实数集上的特殊函数，,与矩阵有关的几个子空间,以上的结论可以由齐次线性方程组AX=0得到解释,几个相关的基本概念,线性变换,函数、映射、变换是同一个对象在不同领域的名称，函数定义在传统数集之上、映射定义在离散对象之上、变换
5、常出现在线性空间的讨论中。,用变换的概念理解线性方程组,矩阵变换,p64,下例给出了如何例如矩阵变换描述并解决实际的人口迁移变化问题,线性变换,线性变换反映线性空间中向量之间的线性映射关系（保持线性关系的映射），由于线性空间中的向量都可以表示为基的线性组合，因此，线性变化与指定基下的矩阵一一对应，线性变换可以用矩阵来表示。,线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,过渡矩阵、矩阵的相似关系,一个向量在同一个线性变换之下，不同基下的坐标之间有什么关系？,关于线性变换矩阵的基本前提,T(X)在基下的坐标为AX,在基下的坐标为BY,线性变换及矩阵的值域和核,正交变换与正交矩阵,定义,欧氏空间V上的线性变换T，如果对于V中任意向量x满足=,即保持向量的长度不变,称为正交变换.,正交矩阵的性质,
