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1、一、分布函数,3.3 随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布律可以完整地描述离散型随机变量的概率分布.但对于非离散型随机变量,由于它可能的取值不可数,所以要用分布律来描述它是不可能的.例如,我们要观察某种型号的电子元件的寿命,它的值域为大于等于零的数,而不是集中在有限个或可数无穷多个点上,因此,其概率规律不能用分布律来描述.另外，在研究一个随机变量时,我们常常关心的并不是它取某个值的概率,而是它落在某个区间上的概率.例如,学生考试前并不关心他恰好取得88分的概率,而是关心他将考得60分以上的概率.,一、分布函数,3.3 随机变量的分布函数,一般地,对于一个随机变量,我们关心的是X 在任意有限
2、区间(a,b)内取值的概率.,分布函数,定义,设 X 是一个 随机变量，称,为 X 的分布函数.或记作FX(x).,一、分布函数,3.3 随机变量的分布函数,事件,的概率可写成,二、分布函数的性质,即F(x)是单调非减的。,即F(x)是右连续的。,例1,一次抛掷两枚均匀硬币,若以X表示出现正面的次数，,求X的分布函数.,解,由题意，,X的分布律为,0,1,2,Page 30 例 3-1,当,时,当,时,当,时,当,时,0,1,2,故X的分布函数为,它是一条阶梯形曲线，,则离散型随机变量X的分布函数,设离散型随机变量X 的分布律为,例2,向区间(a,b内任意掷一质点,设此试验是几何概型的,求落点
3、X坐标的分布函数.,解,由题意知,Page 30 例 3-1,当,时,当,时,当,时,于是X的分布函数为,F(x)的图形是一条连续曲线,3.4 连续型随机变量,有些随机变量，它们的值域是一个区间或若干个区间的并，称这类随机变量为连续型随机变量。我们不能将它的取值一一列出，因而不能象研究离散型的手法一样用分布列来刻画它，那么如何描述连续型随机变量取值的统计规律性呢？,本节我们来研究一维随机变量取值的统计规律性。为此先考虑下面的例子。,解：X的分布函数为：,由此我们给出连续型随机变量的数学定义,那么称 为连续型随机变量，,定义,设F(x)是随机变量X的分布函数.,若存在一个非负函数f(x),对任意
4、实数x,有,或概率密度或密度函数.,由上面的定义可得下面两个结果:,(1)在整个实轴上,F(x)是连续函数;,(2)对f(x)的连续点,有,概率密度函数的性质：,(3),由(4)得,例2已知连续型随机变量X的分布函数为：,(1)求常数A；,(3)求P(0.5X10)；,(2)求X的概率密度f(x)；,解,（1）由于F(x)是连续函数，,所以,故,（2）,其它,（3）,例3连续型随机变量X的密度函数为：,求(1)系数A；,(3),(2),解,（1）,故,（2）,例3连续型随机变量X的密度函数为：,求(1)系数A；,(3),(2),（3）,当,时,当,时,当,时,故,3.5 常用的连续型随机变量,
5、1、均匀分布,设连续型随机变量X的密度函数为,解：,可见均匀分布的变量取值于a，b子区间的概率的大小，只与子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关。,如果连续型随机变量X的概率密度函数,易知服从指数分布的随机变量的分布函数为,指数分布在可靠性问题中有广泛的应用。,2、指数分布,则称X服从参数为,的指数分布,记为,例2 设连续型随机变量X的密度函数为,试确定常数a,并求P(X1).,解,于是X的密度函数为,Page 34 例3-4,如果连续型随机变量X的密度函数为,正态分布的随机变量的密度函数具有下列性质：,正态分布在理论上与实际应用中都是一个极其重要的分布。,3、正态分布,决定了图形的中心位置
6、，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,下面介绍正态分布中十分重要的一类分布标准正态分布。,是偶函数,称为标准正态分布。,证明,证明,例3,设,求,解,Page 36 例3-5,例4,设,求,解,Page 36 例3-6,（1）某天他迟到的概率；,（2）某周（5天记）他最多迟到一次的概率。,解,(1)所求概率为,(2),设一周内迟到的次数为Y,则离散型随机变量Y,所求概率为,Page 37 例3-7,如图所示：,实数,满足条件,则称,为随机变量X的上侧,分位数。,对于给定的,如果,解,查标准正态分布表得,Page 37 例3-8,例7已知某型号电子管的寿命X（单位：小时）服从参数为 的指数分布。,的个数，试求随机变量Y的分布列（概率分布）。,
