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1、,3.3 二维随机变量函数的分布,第3章 多维随机变量及其分布,已知二维随机变量（X，Y）的联合分布为F（x,y）,z=g(x,y)为二维连续函数，求一维随机变量Z=g(X,Y)的分布,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布 设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数 是一维离散型随机变量若已知(X,Y)的分布律，如何得到 的分布律?,3.3 二维随机变量函数的分布,设（X，Y）为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量，若对于不同(xi,yj)，函数值g(xi,yj)互不相同，则Z=g(X,Y)的分布律为 P(
2、Z=g(xi,yj)=pij,i,j=1,2,若对于不同的(xi,yj)，函数g(xi,yj)有相同的值，则取相同g(xi,yj)值对应的概率要合并相加。,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例】设(X，Y)的分布律为试求：Z1=X，Z2=Y/X，Z3=minX，Y的分布律 解：将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例】设,且 X与Y独立，证明 证：取值为0，1，2，Z=k是互不相容事件 的和,考
3、虑到独立性，对任意非负整数k，有,3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布,即证明了 本例的结论说明，泊松分布具有可加性.,设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，为X，Y的函数，它也是连续型随机变量求Z的概率密度的一般按下面两步进行:(1)求Z的分布函数 其中(2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求Z=X+Y的概率密度 解：事件X+Y Z所占有的区域如图，对积分 作变量变换x=u y得：于是,3.3.2 二维连续型随机变量函数
4、的分布,对z求导数得由X，Y的对称性，又有:,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度 特别地，当X和Y独立时,X，Y的概率密度分别为 和，则上述两式可分别写成 和这两个公式称为卷积公式，记为:,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】（正态分布的可加性）设X和Y都服从N(0,1)且相互独立，求Z=X+Y的概率密度 解：由卷积公式令，得 即ZN(0，2),3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,一般地，设X，Y相互独立，且，则 更一般地，可以证明，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布即定理3.1（正态分布的重
5、要性质）若X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为n个任意常数，则,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求：随机变量Z=X+Y的概率密度解：因,欲使，即使，x与z必须满足 即 将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,(1)时，由于，故(2)时，(3)时，综上所述，得到：,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立的n个随机变量,若，试在以下情况下求Y和Z的分布(1)XiFi(x)，i=1，2，n(2)Xi同分布，即XiF(x)，i=1，2，n(3)Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的概率密度为f(x)，i=1，2，n,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,解：(1)的分布函数为 的分布函数为,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,(2)将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中，得(3)Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到,3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例】设随机变量X与Y相互独立，且同服从(0，1)上的均匀分布，试求Z=|X Y|的概率密度解：因为所以Z的概率密度为,作业：P81 习题3.3 3、4,
