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1、课件制作：应用数学系,概率论与数理统计,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量（X,Y）,(X,Y)的联合分布函数,二维随机变量的联合分布函数,定理：的性质,（1）关于x或y非降,（4）关于x或y右连续,（2）,（3）,（5）对,有,二维随机变量（X,Y）,离散型,i,j=1,2,X和Y 的联合概率分布列,(X,Y)的联合概率分布列的表格形式如下:,二维随机变量（X,Y）,离散型,X和Y 的联合分布函数,离散型,一维随机变量X,X的分布分布函数,设二维连续型随机变量（X,Y）,的联合概率密度函数为,则,不难得出，对连续型 随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：,在 f(x,y
2、)的连续点,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,例,两个常见的二维分布：,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（X,Y）N(),一般，对二维离散型随机变量(X,Y)，,则(X,Y)关于X的边缘概率分布列为,X和Y 的联合概率分布列为,P(X=xi),Pi.,P(Y=yj),P.j,(j=1,2,.),同理,一般地,记:,我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,联合分布与边缘分布的关系：,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,对任意随机变量(X,Y)，
3、,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,对离散型随机变量(X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,对连续型随机变量(X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,易知,一、离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：,P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.,由条件概率公式,称为在Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律
4、.,其中PY=yj 0,自然地引出如下定义：,同样,条件分布律具有分布律的以下特性：,10 P X=xi|Y=yj 0；,定义：给定 y，设对于任意固定的正数，,存在，,P y-0,若对于任意实数 x，极限,则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，,写成 P X x|Y=y，或记为 FX|Y(x|y).,称为在条件Y=y下X的条件分布函数.,条件密度函数的性质,两个随机变量独立的定义是：,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的定义等价于：,则称X和Y相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有,即,
5、则称X,Y相互独立.,对任意的 x,y,有,若(X,Y)是连续型随机变量 则上述独立性的定义等价于：,分别是X和Y 的边缘密度,一、离散型分布的情形,若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,此即离散卷积公式,r=0,1,2,和的分布：Z=X+Y,设X和Y的联合密度为 f(x,y),求Z=X+Y的密度,Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线x+y=z 左下方的半平面.,二、连续型分布的情形,和的分布：Z=X+Y,化成累次积分,得,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式.,
