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1、第三节二维随机变量函数的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们学习了二维随机变量，来进一步讨论:,当二维随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Z=g(X,Y)的联合分布?,一、离散型分布的情形,设二维离散型随机变量(X，Y)，(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则 Zg(X,Y)P(Zzk)pk,k1,2,或,例1 设（X,Y)的概率分布为：,求,的概率分布。,因此，X+Y与XY的分布列分别为,例2 若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=a0br+a1br-1+
2、arb0,由独立性,此即离散卷积公式,r=0,1,2,同书中P95例3.3.2,解：依题意,由卷积公式,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布(可加性).,r=0,1，,同书中P96例3.3.3.,例4 设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布.,回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:,我们给出不需要计算的另一种证法:,同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.,若X B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.,故Z=X+Y 是在
3、n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2,p).,二、连续型分布的情形,设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x,y),z=g(X,Y)为连续函数，,则z=g(X,Y)为一维r.v.,它的分布函数为,-分布函数法,例5 设X和Y的联合密度为 f(x,y),求Z=X+Y的密度.,解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线x+y=z 左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令u=
4、x+y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式.,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解:由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,同课后习题三15,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形
5、,请自行写出结论.,例7(书中例3.3.5)若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则,例8,从前面例子可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY
6、(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有 FM(z)=FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,可进行推广。,即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz),需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分
7、布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.,解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n),=P(X1=n,X2n)+P(X2=n,X1 n),记1-p=q,例9 设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的概率分布.,n=1,2,解二:P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1),=P(max(X1,X2)n)-P(max(X1,X2)n-1),=P(X1 n,X2n)-P(X1 n-1,X2 n-1),n=1,2,若求Y=min(X1,X2)的分布呢？,练习：,设二维随机变量(X,Y)在矩形上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s).,思考：商的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z 的密度。,特别，当X，Y相互独立时，上式可化为,其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。,y G1 0 x G2,
