《.7.8绝对值三角不等式及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《.7.8绝对值三角不等式及其应用（17页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、绝对值不等式,绝对值三角不等式,关于绝对值还有什么性质呢?,表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.,证明:10.当ab0时,20.当ab0时,综合10,20知定理成立.,定理2 如果a、b、c是实数,-那么|a-c|a-b|+|b-c|-当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,定理3 如果a、b是实数,-那么|a|-|b|a+b|a|+|b|,当且仅当ab 0时,等号成立.,当且仅当ab 0时,等号成立.,将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立,绝对值三角不等式的应用,证:,证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|2(x
2、-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.所以|2x+3y-2a-3b|5.,例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。,已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，bR
3、）的 定义域为-1，1，且|f(x)|的最大值为M.(1)证明：|1+b|M;(2)当 时，试求出f（x）的解析式.由|f(x)|在-1，1上的最大值为M 建立不等式M|f（1）|，M|f（0）|，M|f（-1）|是解决问题的关键.,（1）证明 M|f（-1）|=|1-a+b|，M|f（1）|=|1+a+b|，2M|1-a+b|+|1+a+b|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，M|1+b|.（2）证明 依题意，M|f（-1）|，M|f（0）|，M|f（1）|，又f（-1）=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|，4M|f（-1）|+2|f（0）|+|f
4、（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，,（3）解,证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：（1）恰当运用|a|-|b|ab|a|+|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明.,例4 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|1时，总有|f(x)|1,求证：|f（2）|8.证明 方法一 当|x|1时,|f（x）|1，|f（0）|1，即|c|1.又|f（1）|1，|f（-1）|1，|a+b+c|1，|a-b+c|1.又|a+b+c|+|a-b+c
5、|+2|c|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|，且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|4，|a|2.,|2b|=|a+b+c-（a-b+c）|a+b+c|+|a-b+c|2，|b|1，|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b|f（1）|+3|a|+|b|1+6+1=8，即|f（2）|8.方法二 当|x|1时，|f（x）|1，|f（0）|1，|f（1）|1，|f（-1）|1.由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，f（0）=c知,f（2）=|4a+2b+c|=|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|31+11+31=78.,
