《3.3随机变量的相互独立性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3随机变量的相互独立性.ppt（24页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、1,3.3随机变量的独立性,2,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.,两随机变量独立的定义是：,3,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),X和Y的边缘分布函数分别为FX(x),FY(y),若x,y,有 F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X和Y相互独立,定义:,其意义:,事件Xx与Yy相互独立,用分布函数表示,即,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,4,离散型:,X与Y相互独立,即pij=pi.p.j(i,j=1,2,),连续型:,X与Y相互独立,
2、若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立=0,f(x,y)=fX(x)fY(y),PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,5,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为:,若X与Y相互独立,求,之值,6,解:,=PX=2,Y=2,=PX=2PY=2,=PX=2,Y=3,=PX=2PY=3,又由,解得:,7,例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度为:,求 PYX,解:由题意可知,8,PYX,=0.3697,f(x,y)=fX(x)fY(y),D,9,证明:,例3,设:(X,Y)N求证:X与Y独立=0,10,由,“”把=0代入,于是:,X与Y
3、独立,11,“”,X和Y相互独立(x,y)R2.有 f(x,y)=fX(x)fY(y),对比两边=0,特别,取 代入上式有 即:,12,解：,x0,即：,对一切x,y,均有：故X,Y 独立,y 0,13,解：,0 x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立.,14,例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？,解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,X
4、U(15,45),YU(0,60),15,所求为P(|X-Y|5)及P(XY),甲先到的概率,由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率,16,解一：,P(|X-Y|5),=P(-5 X-Y 5),=1/6,=1/2,P(XY),17,解二：,P(X Y),=1/6,=1/2,被积函数为常数，直接求面积,=P(X Y),P(|X-Y|5),18,类似的问题如：,甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,19,在某一分钟的任何时刻，信号进入
5、收音机是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰.求发生两信号互相干扰的概率.,20,类似于二维随机变量的理解,定义:将n个随机变量 X1,X2,Xn 构成一个n维向量(X1,X2,Xn)称为n维随机变量,(X1,X2,Xn)的分布函数:F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn,以上所述关于二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度及独立性等概念，容易推广到N维随机变量中去。,21,离散型:PX1=x1j1,X2=x2j2,Xn=xnjn=pj1j2jn,连续型:F(x1,x2,xn),22,设F(x1,x2,xn)为n维(X1,X2,Xn)的分布函数,F(x1,x2,xn)=,23,定理1 若连续型随机向量（X1,Xn）的概率密度函数f(x1,xn)可表示为n个函数g1,gn之积，其中gi只依赖于xi，即 f(x1,xn)=g1(x1)gn(xn)则X1,Xn相互独立,且Xi的边缘密度fi(xi)与gi(xi)只相差一个常数因子.,最后我们给出有关独立性的两个结果：,补充,24,定理2 若X1,Xn相互独立,而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)则Y1与Y2独立.,
