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1、第三章 随机向量及其分布,定义 设E：=，X1，X2，Xn是定义在上的n个随机变量，称随机变量组（X1，X2，Xn）为定义在上的n维随机向量。,e,X(e),Y(e),考虑最多的是二维随机向量(X,Y),2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（X），纬度（Y），高度（Z）是定义在上的三个随机变量。即每一个点对应三个实数值，称向量（X，Y，Z）为三维随机向量。,1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用X和Y表示。,随机向量的例子,二维随机向量的样本空间,(1)二维随机向量（X，Y）的一个可能值可以用平面上的一个点表示,D,(2)样本空间是平面上的一些离散点或者平面区域D,一、二维随机
2、向量（X，Y）的联合分布函数,1.定义：设（X，Y），x、y为两个任意实数，则称二元函数,F（x,y）=PXx,Yy,为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称X、Y的联合分布函数。,2.几何意义：F（x,y）表示随机点（X，Y）落在以（x,y）为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。,对于任意的x1x2，y1y2，Px1Xx2，y1Yy2F（x2,y2）-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),3 矩形区域内的概率计算：,4.F（x,y）的基本性质：,（1）F(x,y)是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1x2时，F（x1,y）F（x2,y）；对于任意固定的
3、x，当y1y2时，F（x,y1）F(x,y2)（2）0F（x,y）1,F(-，-)=0，F（+，+）=1 对任意固定的y，F（-，y）=0 对任意固定的x，F（x，-）=0（3）F（x,y）关于 x 右连续，关于 y 也是右连续的，即 F（x+0,y）=F（x,y），F（x,y+0）=F（x,y）（4）对于任意的x1x2,y1y2有下列不等式 F（x2,y2）-F（x2,y1）-F（x1,y2）+F（x1,y1）0,例1、设（X，Y）的分布函数,求 A,B,C 的值及概率PX3,Y4,解:,由分布函数的性质,得,解得,二、离散型随机向量的概率分布,1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值只有
4、有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机向量。,2.（X，Y）的联合分布列 若（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj），i,j=1,2,；且取这些值时的概率表示为 pij=P X=xi,Y=yj,(i,j=1,2,)，则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律。,3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质：（1）pij0；i,j=1,2,;(2),（4）(X,Y)的联合分布律可用下列形式的联合分布表表示：,（5）（X，Y）的联合分布函数为：,其中和式是对一切满足xix，yjy的i,j来求和的。,例题3,设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能地取一个数，另一个随机变量Y在1X
5、中等可能地取一个数，试求（X，Y）的分布律,x,y,1 2 3 4,1234,1/4 0 0 0,1/8 1/8 0 0,1/12 1/12 1/12 0,1/16 1/16 1/16 1/16,的分布列。,由乘法公式得,解,可能取值分别都为1，2，3,一袋中有四个球，,上面分别标有数字1，2，2，3,从袋中任取一球后不放回，,再从袋中任取一个球，以,分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，,求,例4,同理可得,所以 的分布列为,可见,三、二维连续型随机向量的概率分布,1.定义 设（X，Y）的分布函数为F（x,y），如果存在非负函数 f(x,y)，使得对于任意实数 x,y 有,则称（X，Y）为
6、二维连续型随机向量，f(x,y)为（X,Y）的（联合）概率密度或（联合）分布密度。,2.概率密度 p(x,y)的性质,（1）f（x,y）0,（3）若f(x,y)在（x,y）处连续则有 f(x,y)=,（4）点（X，Y）落在xoy的平面区域D内的概率为:,例5 已知二维连续型随机向量（X，Y）的联合概率密度，求(1)K;(2)F(x,y);(3)P0X1,0Y1;(4)PX+Y 1,解（1）因为,所以,（2）当x0,y0时：,（3）记D=（x,y）|0 x1,0y1，则,（4）记D=（X，Y）|X+Y 1，则有,例6、设（X，Y）的分布函数,试求：(1)(X，Y)的分布密度,(2)P0 X3,解、,四、两个重要分布,1 均匀分布,（1）设平面区域D 的面积为 A，若随机向量（X，Y）的概率密度为,则称随机向量（X，Y）在区域D上服从均匀分布。,（2）若区域D内任一部分区域D1，其面积为A1，则有,的二维正态分布，记为,若二维随机变量,的概率密度为,其中,都是常数,且,则称,服从参数为,一、二维随机向量（X，Y）的联合分布函数：,F（x,y）=PXx,Yy,四、两个重要分布。,二、已知 pij=P X=xi,Y=yj 或 p（x，y），确定常数，分布函数，求概率,三、F（x，y），pij,p(x,y)的性质,小 结：,作业 P66 5 6,
