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1、,概率论与数理统计5.1 大数定律5.2 中心极限定理,广东金融学院应用数学系,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。,所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该对随机现象进行大量的观测。,第五章 极限定理,随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现出来。,研究随机现象的大量观测，常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究。极限定理的内容很广泛,最重要的有两种:,“大数定律”和“中心极限定理”。,对随机现象进行大量重复观测，各种结果的出现频率具有稳定性。,5.1 大数定律,大量地掷硬币正面出现频率,字母使用频率,生产过程中废品率,5.1.1 切比雪夫不等式,定理1:
2、设随机变量X有期望和方差2，则对任给的 0,有,或,证明：只对X 是连续型情况加以证明。,设X 的概率密度函数为 f(x)，则有,放大被积函数,放大积分域,5.1.2 大数定律,首先引入随机变量序列相互独立的概念。,定义1：设 X1,X2,是一随机变量序列。如果对任意的 n1，X1,X2,Xn相互独立,则称X1,X2,相互独立。,几个常见的大数定律,定理2(切比雪夫大数定律):,设随机变量序列 X1,X2,相互独立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=,Var(Xi)=2，i=1,2,。,则对任意的0，有,证明：,令 n，并注意到概率小于等于1，得(1)式。,定理证毕。,该大数定律表明：无论正数
3、 怎样小,只要 n充分大，事件 发生 的概率均可任意地接近于 1。,即当 n充分大时，差不多不再是随机变量，其取值接近于其数学期望 的概率接近于 1。,在概率论中，将(1)式所表示的收敛性称为随机变量序列 依概率收敛于，记为。,请注意:,下面再给出定理2的一种特例贝努里大数定律。,设nA 是 n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次试验中A发生的概率。,引入,于是,有下面定理。,设 nA是 n 重贝努里试验中事件A发生的频数，p是 A 发生的概率，对任给的 0，有,定理3(贝努里大数定律):,或,贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A发生的概率 p 有
4、一定偏差的概率很小。,例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.,问对序列Xk能否应用大数定律？,即对任意的0,解:,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.,中心极限定理是棣莫弗(De Moivre)在18世纪首先提出的，到现在内容已十分丰富。在这里，我们只介绍其中两个最基本的结论。,5.2 中心极限定理,当 n 无限增大时，独立同分布随机变量之 和的极限分布是正态分布；,2.当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究 n 个随机变量之和本身，而只考虑其标准化的随机变量,的极限
5、分布。,的极限分布。,可以证明：当 Xn 满足一定条件时,Zn的极限分布是标准正态分布。,考虑,概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为中心极限定理。,中心极限定理的几种简单情形。,下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作 列维林德伯格(Levy Lindberg)定理。,定理1(列维林德伯格定理，即独立同分布的中心极限定理)：,设 X1,X2,是独立同分布随机变量序列，且 E(Xi)=,Var(Xi)=2，对任给 x(-,),均有,其中(x)是标准正态分布 N(0,1)的分布函数。,还有另一记法:,例1：设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布。每箱
6、中装有这种产品100件。求(1).每箱产品的平均强度超过14.5的概率；(2).每箱产品的平均强度超过期望14的概率。,解：n=100,设 Xi 是第 i 件产品的强度，则 E(Xi)=14,Var(Xi)=4,i=1,2,100。每箱产品的平均强度为,根据定理1，有,例 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为200.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。,解 设部件的总长度为X，每部分的长度为Xi（i=1,2,10)，则,由定理4可知：X近似地服从正态分布,即,则产品合格的概率为,定理2(棣莫佛拉普拉斯
7、定理):,定理 2 表明:当 n 很大时，二项分布 Yn 标准化后的分布近似于标准正态分布 N(0,1)。,设随机变量 Yn 服从参数为(n,p)的二项分布(0p1)，则对任意 x(-,)，均有,例2：某公司有200名员工参加一种资格证书考试。按往年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。,解:令,依题设，知 P Xi=1=0.8,np=200 0.8=160，np(1-p)=32，X1+X2+X200 是考试通过人数,因Xi 满足棣莫佛 拉普拉斯定理的条件，故依此定理，近似地有,于是,例3：某市保险公司开办一年人身保险业务。被保人每年需交付保费160元。若
8、一年内发生重大人身事故，其本人或家属获赔付金2万元。己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险。求:保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率。,解:令,由 Xi B(1,p),p=0.005,X1,X2,X5000 相互独立,得,P20万元总收益40万元=P20万元(0.016万元参保人数-2万元一年内发生重大人身事故人数)40万元=P200.0165000-2(X1+X2+X5000)40,所以，,近似服从标准正态分布,（2）解：在100次抽取中,数码“0”出现次数为,由中心极限定理,即,其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0
9、.09,即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.,=0.6826,小结,本讲首先介绍了两个大数定律：切比雪夫大数定律，贝努里大数定律。,切比雪夫大数定律如下:设随机变量序列 X1,X2,相互独立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=,Var(Xi)=2，i=1,2,。则对任意的0，有,贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的特例:,设 nA是 n 重贝努里试验中事件A发生的频数,p 是 A 发生的概率，对任给的 0，有,其后介绍了两个中心极限定理:列维林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）和棣莫佛 拉普拉斯定理。,棣莫佛 拉普拉斯定理的内容是：当 n 很大时，二项分布可用正态分布近似。,列维林德伯格定理的内容是：独立同分布随机变量之和标准化之后的极限分布是标准正态分布；,
