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1、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，你肯定能体会其中蕴涵的不等关系.,与等量关系一样，不等关系也是自然界中存在着的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学学习应用中也起着重要的作用.,一、本章概述：,在本章中，我们将学习一些关于不等式的基本知识，通过不等式丰富的实际背景理解不等式(组)，体会不等关系与不等式的意义与价值；理解二元一次不等式(组)与平面区域的关系；借助几何直观解决简单的线性规划问题；,远近高低,通过基本不等式了解不等式的证明，解决一些简单的最大(小)值问题；通过不等式与函数、方程的联系，提高对数学个部分内容之间联系性的认识.,3.1不等式关系与不等式,3
2、.2一元二次不等式及其解法,3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,3.4基本不等式：,目 录,3.1不等式关系与不等式,不等关系,不等式,二元一次不等式(组),不等式的应用,基本不等式,一元一次不等式,二、新课引入：,现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量不等关系.如：两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；长与短、大与小、高与矮、轻与重、不超过或少于等，来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.,相等只是相对的，不等才是绝对的！,不等关系与不等式：,1、想一想不等关系与不等式有何区别？,提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，而不等式则来表示不等关
3、系的式子.不等关系是通过不等式来体现的.,2、不等式中文字语言与数学符号之间的转换,3、ab或ab分别有什么含义？,不等式ab读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者ab或者a=b”等价于“a不大于b”若“ab或a=b”之中有一个正确，a b正确.,不等式ab读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者ab或者a=b”等价于“a不小于b”若“ab或a=b”之中有一个正确，ab正确.,学之道在于“悟”,ab,F,实例2 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.,在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.,实例1 限速40km/h，指示司机在
4、前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h的路标.,思考：,以上两个不等式关系中的不等词？,将上两个不等式关系用不等式(组)表示？,V40.,不超过,不少于,不少于,三、问题情境：,问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则,d|A B|.,问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价们提高0.1元，销售量及可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？,分析：若杂志的定价为x元，则销售总收入为：,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”，可以表示为不等式：,四、反馈练习：1.用
5、不等式表示下面的不等关系：a与b的和是非负数；某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；如图，在一个面积为350m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L大于宽W的4倍.,a+b0,h4,仓 库,绿地,5m,5m,5m,5m,L,W,(L+10)(W+10)=350,L4W,ab0ab；ab=0a=b；ab0ab；,理论应用比较两数的大小,基本理论可以作为证明不等式的出发点，是学习证明不等式的基本方法，也是比较两数大小依据.,差比较法要证明ab，最基本的方法就是证明ab0，即把不等式相减，转化为比较差与0的大小.,关于实数a、b大小的比较(基本理论)：,一般步骤:作差变形定号，变形
6、是关键.变形常用手段，配方法，因式分解法.变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几个平方和；几个因式的积.,例1 已知ab0，试比较(a2+b2)(ab)与(a2b2)(a+b)的大小；,解：比较法(作差法)(a2+b2)(ab)(a2b2)(a+b)=(ab)(a2+b2)(a+b)2=2ab(ab),ab0，ab0，ab0，2ab(a b)0，故(a2+b2)(ab)(a2b2)(a+b).,解：比较法(作差法),(a3+b3)(a2b+ab2)=(a3 a2b)+(b3ab2),例2已知a，b都是正数，且ab，比较 a3+b3与a2b+ab2的大小.,=a2(ab)+b2(ba)=a2(
7、ab)b2(ab),商比较法：主要适用于那些能够判断出恒为正数的数或式子，具有一定的局限性，作商候与1进行比较。在解决这些问题的时候，根据实际情况选择其中一种合适的方法，要根据题目的的具体结构特点，如果是差的形式，一般用作差法，乘除的形式用作商法。,=(ab)(a2b2)=(ab)2(a+b).,(ab)2(a+b)0.,故(a3+b3)(a2b+ab2)0，即a3+b3a2b+ab2.,a0，b0，且ab，a+b0，而(ab)20.,例3比较x2与2x两个代数式的大小.,解：比较法(作差法)x22x=x(x2)，,若x0，所以x22x；,若0 x2，则x(x2)0，所以x22x；,若x=0或
8、x=2，则x(x2)=0，所以x2=2x.,分类讨论,若x2，则x(x2)0，所以x22x.,反馈练习 比较下列各组中两个代数式的大小：当x1时，x3与x2x+1；x2+y2+1与2(x+y1).,数形结合,当x1时，x3x2x+1=x2(x1)(x1)=(x1)(x2 1)=(x1)2(x+1)0.x2+y2+12(x+y1)=(x1)2+(y1)20.,五、拓展延伸：,如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则其浓度为a:b，若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时溶液的浓度增加到(a+m):(b+m)将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.,分析 显然，a，b，m都是正数，而且ab，生活经验告诉我们
9、，在已有的糖溶液中加糖，溶液的浓度增大(糖水加糖，甜更甜).,解 已知 a，b，m都是正数，并且ab，则,下面给出证明.,将不等式两边相减，得,因为a0；又因为a，b，m都是正数，所以m(ba)0，b(b+m)0.,糖水加糖，甜更甜!,六、归纳总结：,本节主要讲了两个内容：不等关系与不等式；关于实数a、b大小的比较.,行到水穷处，坐看云起时。,七、布置作业：P75习题3.1 第3、4题.,为我们理想的大学而不懈努力,为我们人生的追求而忘我奋斗!,同学们再见！,知识是能力的载体，基础知识是根本，离开了基础，能力就成了无源之水.意味着丢掉基础，就会丢掉高考.因此，最基础的知识最具有生命力，最基础的知识最具有迁移力.,
