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1、3.2.4 利用向量解决 空间距离问题,华美实验学校高二数学备课组 jchay,知识回顾,1.距离定义（1）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。（2）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离。（3）两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。,（4）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。（5）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相
2、等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。（6）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。,a,l,a,2.法向量及射影：,A,B,B1,A1,空间两点之间的距离,根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或(其中)，可将两点距离问题转化为求向量模长问题.,空间中的距离主要有:点点、点线、点面、线线、线面、面面,空间点线之间的距离,求出垂线段的向量的模。,如何利用空间向量求点到平面的距离：,一、求点到平面的距离,a,n,P,A,O,M,N,方法指导：若点P为平面外一点，点A为平
3、面内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面的距离公式为,一、求点到平面的距离,例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,D,A,B,C,G,F,E,练习1:,S,B,C,D,A,练习2:,例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,二、求直线与平面间距离,正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,练习3:,G,例3、正方体AC1棱
4、长为1，求平面AB1C与平面A1DC1的距离,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,三、求平面与平面间距离,练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。,B,A,a,M,N,n,a,b,四、求异面直线的距离,A,B,C,C1,E,A1,B1,例4,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,例4,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。,A,B,D,C,A1,B1,C1,D1,x,y,z,练习5,练习6:如图,A,S,C,D,B,小结：,1、怎样利用向量求距离？,点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。,点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。,直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。,平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。,异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。,点到平面的距离：,直线到平面的距离：,平面到平面的距离：,异面直线的距离：,2.四种距离的统一向量形式：,今日作业,课本P111 练习2,
