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1、第4章 解非线性方程的迭代法,本章讨论求非线性方程(x)=0(4.1)的根的问题.,其中(x)是高次多项式函数或超越函数.如(x)=3x5-2x4+8x2-7x+1(x)=e2x+1-xln(sinx)-2等等.,1 二 分 法,设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0,根据连续函数的介值定理,区间a,b上必有方程(x)=0的根,称a,b为方程(x)=0的有根区间.,得到新的有根区间a1,b1,设(x)在区间a,b上连续且(a)(b)0.,0,a,b,y,x,y=(x),记a0=a,b0=b,计算,若|(x0)|0,取a1=x0,b1=b0,而且有根区间a1,b1长度是有根区间a0,b0长度
2、的一半,x0,再对有根区间a1,b1重复上面运算,即:计算,若|(x1)|0,取a2=x1,b2=b1,得到新的有根区间a2,b2.,x1,而且有根区间a2,b2长度是有根区间a1,b1长度的一半.一直进行下去,直到求出有根区间ak,bk.,此时,再计算,或者有|(xk)|,或者有,可见,k趋向无穷大时,xk收敛于.,而且,若要|xk-|,只要,此时可取近似根xk.,在计算过程中,若出现|(xk)|1,或bk-ak2.则可取xk作为方程(x)=0的近似根,终止运算.,例1,用二分法求x3+4x-10=0在区间1,2内根的近似值,并估计误差.,解 这里(x)=x3+4x-7，(1)(2)=-18
3、0,所以(x)=0在1,2区间有唯一根.,取x0=1.5,由于(x0)=2.375,得新有根区间1,1.5,x1=1.25,由于(x1)=-0.0468,得新有根区间1.25,1.5,x2=1.375,由于(x2)=1.0996,得新有根区间1.25,1.375,x3=1.3125,由于(x3)=0.511,得新有根区间1.25,1.3125,.,x9=1.254882813,得有根区间1.254882813,1.255859375,x10=1.255371094,(x10)=-0.000105285,取x10=1.255371094作为方程根的近似值,且有,只需k5ln210-115.61.
4、即需取x16.,如果取精度=10-5,则要使,二分法要求函数在区间a，b上连续，且在区间两端点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算机上实现。但是，若方程(x)=0在区间a，b上根多于1个时，也只能求出其中的一个根。另外，若方程(x)=0在区间a，b有重根时，也未必满足(a)(b)0.而且由于二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为其他方法提供一个比较好的初始近似值.,2.1 简单迭代法的一般形式,2 简 单 迭 代 法,首先把方程(x)=0改写成等价(同解)形式 x=(x)(4.2),得到迭代序列xk,如果xk,则有=(),即是方程(x)=0的根.,取一个合适的初始值x
5、0,然后作迭代 xk+1=(xk),k=0,1,2,(4.3),这种求方程根的方法称为简单迭代法,或逐次逼近法.其中(x)称为迭代函数,式(4.3)称为迭代格式.若迭代序列xk 收敛,则称简单迭代法是收敛的.,解 改写原方程为等价方程,求方程x3-2x-3=0在1,2内的根.,例2,建立迭代格式,如果取初值x0=1.9,计算得,由计算结果有，x10=x9，因此可取x10=1.89328920.,定义4.1 设(x)为定义在区间I上的函数,且对任何xI,均有(x)I,则称(x)为I到自身上的映射.,方程也可改写成x=(x3-3)/2,建立迭代格式 xk+1=(xk3-3)/2,k=0,1,2,仍
6、取初值x0=1.9,则有,x1=1.9295,x2=2.0917,x3=3.0760,x4=13.0529,可见,xk,此迭代格式是发散的.,2.2 简单迭代法的收敛条件,定义4.2 设(x)为I到自身上的映射,且存在0L1,使对任何x1,x2I,有|(x2)-(x1)|L|x2-x1|,则称(x)为I上的压缩映射,L称为Lipschitz常数.,若(x)为I上的压缩映射,则(x)在I上连续.,定理4.2 若(x)为I到自身上的映射,且(x)C1(I),|(x)|L1,则(x)为I上的压缩映射.,证 对任意x1,x2I,有|(x2)-(x1)|=|()|x2-x1|L|x2-x1|,定义4.3
7、 若(x)为I到自身上的映射,且I满足,=(),则称为(x)的不动点.,定理4.3 若(x)为I上的压缩映射,则(x)在I上存在唯一的一个不动点,且对任何x0I,由迭代格式 xk+1=(xk),k=0,1,2,产生的序列xk收敛于(x)的不动点.,定理4.1,证 不妨设I=a,b,作函数(x)=(x)-x,由于xI时,(x)I,则(a)=(a)-a0,(b)=(b)-b0,由(x)的连续性,必存在I,使()=()-=0,即=(),就是(x)的不动点.,若,I均为(x)的不动点,则有|-|=|()-()|L|-|-|所以只能=,即(x)在I上仅有一个不动点.,对任意x0I,有x1=(x0)I,递
8、推得xkI,设是(x)的不动点,则|xk+1-|=|(xk)-()|L|xk-|L2|xk-1-|Lk+1|x0-|所以xk.,若=(),而在I=-,+上(x)满足|(x)-()|L|x-|这里L1为Lipschitz常数,则当x0-,+时,有(1)由迭代xk+1=(xk)产生的迭代序列xkI;,推论 若(x)C1a,b,且满足 1.a(x)b,xa,b;2.|(x)|L1,xa,b.则迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,x0a,b都收敛于方程x=(x)在区间a,b的唯一根.,(3)是I上(x)的唯一不动点.,定理4.4,实际上,由连续性知,存在0,使对任何xI=-,+都有|(x)|L
9、1.,2.3 简单迭代法的误差分析与 收敛阶,推论 若=(),(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|0,当x0I=-,+时,有(1)由迭代xk+1=(xk)产生的迭代序列xkI;,(3)是I上(x)的唯一不动点.,定理4.5 若(x)为I上压缩映射,则x0I,由迭代 xk+1=(xk),k=0,1,2,产生的迭代序列xk满足:,证|xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)|L|xk-xk-1|xk+1-|=|(xk)-()|L|xk-|,|xk+1-xk|=|(xk+1-)-(xk-)|xk-|-|xk+1-|(1-L)|xk-|,由误差估计式可见,对任一0,要使|xk-|,只要,求方程x
10、ex-1=0在0.5附近的根,精度要求=10-3.,解 可以验证方程xex-1=0在区间0.5,0.6内仅有一个根.,例3,改写方程为x=e-x,建立迭代格式,由于(x)=e-x,在0.5,0.6上有|(x)|e-0.50.61.所以迭代法收敛.,取初值x0=0.5,计算得,所以,取近似根x10=0.56691满足精度要求.,如果精度要求为=10-5,则由,可知,需要迭代20次.,定义4.4 设迭代序列xk收敛于,记误差ek=xk-,如果存在正实数p和非零常数C,使得,或,|xk+1-|C|xk-|p,k1,则称序列xk是p阶收敛的,称p是收敛阶,C是渐近误差常数.,p=1称为线性收敛;p1称
11、超线性收敛;p=2称平方收敛.,设(x)充分光滑,由于,|ek+1|=|xk+1-|=|(xk)-()|=|(k)|ek|,所以,当()0时,有,于是,此时,迭代法是m阶收敛的.,所以,当()0时,简单迭代法只具有线性收敛.,设()=()=(m-1)()=0,但(m)()0,由于,|ek+1|=|xk+1-|=|(xk)-()|,所以,下面介绍Aitken加速算法，此方法可对线性收敛的简单迭代法起到加速作用，而且可应用于其它数值方法中。,假设(1)(2)，则有,由于,xk+1-=(1)(xk-),xk+2-=(2)(xk+1-),即,(xk+1-)2(xk-)(xk+2-),xk+12-2xk
12、+1+2xkxk+2-(xk+xk+2)+2,解得,则,序列,注意,如果第k步发生zk-2yk+xk=0,就终止计算,取xk.,如果记,要比序列x k更快地收敛于,可构造如下的Aitken加速算法:,例4,分别用简单迭代法和Aitken加速算法求方程x=1.6+0.99cosx在x0=/2附近的根.(=1.585471802),取x0=/2,计算结果如下,Newton迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛,而且Newton迭代法还可用来求方程的重根、复根及非线性方程组.,3 Newton 迭代法,3.1 Newton迭代公式,设(x)在有根区间a,b上二阶连续
13、可微,x0是根的某个近似值,因为,取(x)(x0)+(x0)(x-x0),方程(x)=0近似为(x0)+(x0)(x-x0)=0,若(x0)0,其解为,得到根的新的近似值x1,一般地,在xk附近线性化方程为,(xk)+(xk)(x-xk)=0,设(xk)0,其解为,迭代格式(4.4)称为 Newton迭代法.,x,y,o,x0,y=(x),x1,x2,直线 y=(x0)+(x0)(x-x0),就是 y-(x0)=(x0)(x-x0),Newton迭代法也叫切线法.,Newton迭代法相当于取迭代函数,3.2 Newton迭代法的收敛性,的简单迭代法.因为,如果是(x)=0的单根,即()=0,但
14、()0,则有()=0,从而可知Newton迭代法在根附近是收敛的.,因为,所以,于是有,可见,Newton迭代法至少是平方收敛的.,若记,M2=max|(x)|,m1=min|(x)|.,则有,|xk+1-|C|xk-|2,因此,C|xk+1-|(C|xk-|)2,(C|xk-1-|)4,可见,当C|x0-|1,即|x0-|2m1/M2 时,Newton迭代法是收敛的.,设(x)在单根附近具有二阶连续导数,则对充分接近的初值x0,Newton迭代法产生的序列xk收敛于,并且,定理4.6,取x0=0.5,计算结果如下:,例5 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求=1
15、0-5.,解 Newton迭代格式为,从结果可见,Newton迭代法迭代3次已获得精确到小数点后五位的近似解,迭代4次已获得精确到小数点后八位的近似解.与例3比较可见Newton迭代法收敛的确实快.,3.3 Newton迭代法的变形,1.简化Newton迭代法,为了简化计算(xk),采用迭代格式,称为简化Newton迭代法.,o,x,y,y=(x),x0,x1,x2,x3,在区间I=-,+上,取M与(x)同号,且M1/2max|(x)|,时,简化Newton迭代法对x0I收敛.通常取M=(x0).,简化Newton迭代法一般只具有线性收敛.,2.割线法,因为,o,x,y,y=(x),x0,x1
16、,x2,x3,为了简化计算(xk),采用迭代格式,称为割线法.,若(x)在根附近二次连续可微,且()0,可以证明割线法是收敛的,且有,割线法收敛的阶为,3.计算重根的Newton迭代法,称是方程(x)=0的m重根,是指(x)=(x-)m h(x),其中h(x)在x=处连续且h()0,若h(x)在处充分可微,则()=()=(m-1)()=0,(m)()0,由于,可见,恰是方程,的单根.应用Newton迭代法可得:,称之为带参数m的Newton迭代法,它是求方程(x)=0m重根的具有平方收敛的迭代法.,再看函数:,可见,恰是方程u(x)=0的单根,应用Newton迭代法有,这是求方程(x)=0重根
17、的具有平方收敛的迭代法,而且不需知道根的重数.,例6 利用Newton迭代法求方程(x)=x4-8.6x3-35.51x2+464.4x-998.46=0的正实根.,o,x,y,2,4,6,8,10,y=f(x),解 y=(x)的图形为,可见,方程在x=4附近有一个重根,在x=7附近有一单根.,利用Newton迭代法,求方程的单根,取初值x0=7,精度=10-6,计算可得:x4=7.34846923,x5=7.348469229,|x5-x4|=0.000000001,可见,迭代5次就得到满足精度的解x5=7.348469229,利用求重根的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,可得 x3=4.300000,x4=4.300000,|x4-x3|=0.000000006,然而若用一般的Newton迭代法(4.5)求重根,取x0=4,虽然也收敛,却需要迭代19次才能得到满足精度要求的解.,可见,迭代4次就得到满足精度的解x4=4.300000.,利用带参数2的Newton迭代法,取x0=4可得x2=4.2999898.,练习题,第102页 习题44-1,4-3,4-4,4-5,4-7,4-8,练习题,第102页 习题44-10，4-12,4-13,课间休息,
