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1、基础知识一、基本概念已知两个向量a和b，作 a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的，当a与b同向时，；当a与b反向时，当a与b的夹角是 时，a与b垂直，记作.数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos.其中 叫向量b在a方向上的投影a在e上的投影为；ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积,非零,夹角,0,180,90,ab,|b|cos,ae,二、数量和的运算律1abba；2(a)b(ab)ab；3(ab)cacbc.三、常用结论1(ab)2；2(ab)(ab)；3a2b20；4|a|b|a|b|.,a
2、22abb2,a2b2,a0且b0,四、数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则1eaae|a|cos；2ab；3当a与b同向时，ab；当a与b反向时，ab.特别地，aa|a|2或|a|；4cos；5|ab|a|b|.注意：ab0/a0或b0；(ab)ca(bc),ab0,|a|b|,|a|b|,五、数量积的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab；a2；|a|；若a的起点(x1，y1)，终点为(x2，y2)，则|a|；ab；,x1x2y1y2,x1x2y1y20,易错知识一、对数量积的定义理解不透彻1有四个式子：0a0；0a0；|ab|a|
3、b|.其中正确的序号为_答案：,答案：2,3设a，b，c是非零向量，则(ab)c是()A数量B与a共线的向量C与c共线的向量 D无意义答案：C,二、应用数量积的运算律失误4给出下列命题：若a0，则对任一向量b，有ab0；若a0，则对任意一个非零向量b，有ab0；若a0，ab0，则b0；若ab0，则a，b中至少有一个为0；若a0，abac，则bc；若abac，且bc，当且仅当a0时成立，其中正确命题的序号有_答案：,答案：正三角形,答案：矩形,回归教材1下列命题正确的是()A单位向量都相等B若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量C若|ab|ab|，则ab0D若a0与b0是单位向
4、量，则a0b01,解析：A.单位向量仅仅长度相等，方向可能不同；B.当b0时，a与c可以为任意向量；C.|ab|ab|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；D.单位向量还要考虑夹角故选C.答案：C,2判断下列各命题正确的是()A若a0，abac，则bcB若abac，则bc，当且仅当a0时成立C(ab)ca(bc)对任意向量a、b、c都成立D对任一向量a，有a2|a|2,解析：A.abac，|a|b|cos|a|c|cos(其中、分别为a与b，a与c的夹角)|a|0，|b|cos|c|cos.cos与cos不一定相等，|b|与|c|不一定相等b与c也不一定相等A不正确,B若abac，则|a|b|
5、cos|a|c|cos(、分别为a与b，a与c的夹角)|a|(|b|cos|c|cos)0.|a|0或|b|cos|c|cos.当bc时，|b|cos与|c|cos可能不相等B不正确C(ab)c(|a|b|cos)c，a(bc)a(|b|c|cos)(其中、分别为a与b，b与c的夹角)(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量C不正确，D正确答案：D,解析：以上四个等式只有是正确的故选D.答案：D,答案：C,答案：D,此题型主要涉及数量积的求解，是高考的一个热点，需要清晰常见的计算方法：一是利用定义；二是引入平面直角坐标系，利用坐标运算；三是进行转化，把未知向量转化为已知向量，再进
6、一步求解,(2)如右图所示，在ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是边BC上一点，DC2BD，则_.,命题意图：考查向量数量积的概念，以及数量积的运算,答案：A总结评述：向量数量积的运算是以向量数量积的概念为基础的，理解和掌握向量数量积的概念对有关用向量求夹角和距离起着决定性的作用.,【例2】已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？思路点拨：由(kab)(a2b)(kab)(a2b)0，展开求解即可,方法技巧：(1)非零向量ab0ab是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握(2)若非零向量a(x1，y1)，b
7、(x2，y2)，则abx1x2y1y20.温馨提示：本题易错点在于将ab与ab的条件混淆,解析：|ab|2|a|22ab|b|21211cos6013，|ab|.答案：D,答案：C,两向量夹角问题的解决，首先应明确夹角是如何得到的？范围是什么？然后掌握两种方法：一是利用数量积公式的变形；二是利用坐标运算求解【例4】已知a，b是非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直试求：a与b的夹角分析：要求a、b的夹角，就需要利用公式ab|a|b|cos，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a|，|b|等来表示ab，这样就可以将它代入公式，即可求出的值,总结评述：向量的数量积满足交换律abba，但不满足ab|a|b|，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果abbc，但不能得出ac.,答案：D,(2010四川宜宾二诊)设向量a(cos17，sin17)，b(cos137，sin137)，则a与ab的夹角为()A120 B43 C77 D60,答案：D,(2010云南昆明高三教学质检)已知非零向量a，b满足a(a2b)，b(b2a)，则a与b的夹角是()A30 B60 C120 D150,答案：B,请同学们认真完成课后强化作业,
