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1、3.2立体几何中的向量方法,空间“角度”问题,1.直线与直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为,则,复习引入,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角 的大小,2、二面角,若二面角 的大小为,则,法向量法,3.线面角,l,设直线l的方向向量为，平面 的法向量为，且直线 与平面 所成的角为(),则,二.向量法求距离,（1）点到平面距离的向量公式,（2）线面、面面距离的向量公式,d=,（3）异面直线的距离的向量公式,求空间中点到直线的距离,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为
2、a，E是BB1的中点，则E到AD1的距离是(),A a B a C a D a,解析：连结D1E、AE，过E作EHAD1于H，在AD1E中易求EH=a.,D,求点到平面的距离,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.,思路分析：第一问即是证明两组线线垂直，第二问可考虑等体积法。,解答（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，,F为BD1中点，FMD1D且FM=D1D,又EC=CC1，且ECMC，,四边形EFMC是矩形,EFCC1,又CM面DBD1,EF面DBD1,BD
3、1 面DBD1，EFBD1 故EF为BD1与CC1的公垂线.,（II）解：连结ED1，有，由（I）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则SDBCd=SDBD1EF.，,AA1=2AB=1.,故点D1到平面BDE的距离为,点评与感悟：等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般是找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后，三棱锥自身体积相等的特性进行求解。使用等体积法的前提是几何体的体积一定可以通过题设算得。,求异面直线间的距离,如图所示，已知四边形ABCD、EADM都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED与AC的中点，,解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，
4、a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得,（1）=（a/2，0，a/2），=（a/2，a/2，a），,=（a/2）a/2+0+a/2（a）=3/4a2，,且=a，=a.,cos，=,故得两向量所成的角为150.,（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1，n平面EFB，n,n 又=（a，a，0），=（0，a，a），即有,得其中的一组解,n=（,），=（a/2，0，a/2）.,设所求距离为d，则d=|n|=a,（3）设e=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由=(-a/2,0,a/2).=(
5、a/2,a/2,-a)，得,求得其中的一个e=（，,），而=（0，a，0）.设所求距离为m，则,m=|e|=|a|=a.,四棱锥PABCD的三视图如左(包括投影到的部分不变的点的字母)求：,(1)画出该几何体并标出相应的字母；(2)计算该几何体的体积；(3)求直线PC与平面PBD所成的角的余弦值cos；(4)若M为PC的中点，在PAD内找一点N，使MN面PBD.,变式探究,3.(2009年银川一中月考)如右图所示，PA平面ABCD，ABCD是矩形，PAAB1，PD与平面ABCD所成角是30，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理
6、由；(2)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF；(3)当BE等于何值时，二面角PDEA的大小为45.,解析：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.,如图，在正三棱柱A1B1C1ABC中，D，E分别是棱BC、CC1的中点，,（）证明：（）求二面角 的大小；（）求异面直线AB1与BE的距离。,求异面直线间的距离,证明：（）以A为原点，建立如图的空间直角坐标系，易知各点坐标,A(0,0,0),B(,1,0)，B1(,1,0),E(0,2,1),则,即,（），易知：,设 是平面 的一个法向量，则,令 则,设 是平面 一个法向量，则,令,则 设二面角 为,则,（）设 是AB1与BE的法向量，,则,可得：,取 y=3,可知,
