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1、(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单问题/掌握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件),4.2 平面向量的基本定理及坐标表示,1共线向量的条件如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线有且只有一个实数，使得ba.2平面向量的基本定理如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2使：a1e12e2.其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的,一组基底(base),3平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位
2、向量i，j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关,4平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)(3)若a(x，y)，则a(x,y)(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a
3、bx1y2x2y10.,1若AB(2,4)，AC(1,3)，则BC()A(1,1)B(1，1)C(3,7)D(3，7)解析：BCACAB(1,3)(2,4)(1，1)答案：B,2已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与AB同向的单位向量是()A.B.C.D.解析：A(4,1)，B(7，3)，AB(3，4)，与AB同向的单位向量为 答案：A,3(2009重庆高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A2 B0 C1 D2解析：ab(3，x1),4b2a(6,4x2)，3(4x2)6(x1)0，解得x2.答案：D,4如右图，平面内有三个向量OA、OB、OC，
4、其中OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30，且|OA|OB|1，|OC|2，若OCOAOB(、R)，则的值为_解析：如右图，OCODOEOAOB在OCD中，COD30，OCDCOB90，可求|OD|4，同理可求|OE|2，4，2，6.答案：6,利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量,【例1】如右图，在ABC中，M是BC的中点，N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于P点，求APPM的值解答：设CAa，CBb，APABBPABBNAB(BCCN)ba(b a)(1)a(1)b，MPMBBPMBBN b(b a)a()b，由APM
5、P，解得：，AP 4PM.即APPM41.,变式1.如右图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为_解析：设ABa，ACb，MOAOAM 同理NO 由MONO得MONO，即整理得mn2.答案：2,利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解在将向量用坐标表示时，要分清向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标,【例2】已知点A(1,2)，B(2,8)以及AC AB，DA BA，求点C、D的坐标和CD的坐标解答：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2
6、，y2)，由题意得AC(x11，y12)，AB(3,6)，DA(1x2,2y2)，BA(3，6)因为AC AB，DA BA，所以有 解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而CD(2，4),变式2.已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若APABAC(R)，则当为何值时，点P在第三象限？解答：ABAC(3,1)(5,7)(35，17)AP(35，17)，设P点的坐标为(x，y)，则AP(x2，y3)，又P在第三象限，解得1，即当1时，点P在第三象限.,1.利用单位向量可以证明正弦定理，推导解析几何中点到直线的距离公式2充分地使用单位向量，在向量的运算过程中可起到事半
7、功倍的效果，比如求向量a在向量b方向上的投影即.,【例3】若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|则b等于()A(3,6)B(3，6)C(6，3)D(6,3)解析：解法一：设b(x，y)，由已知条件 整理得解得 b(3,6),解法二：设b(x，y)，由已知条件解得(舍去)b(3,6)解法三：答案：A,变式3.平面向量a、b，ab5，已知a(4，3)，|b|1，则向量b_.解析：解法一：由题意可知：|a|5，|b|1，ab5cosa，b1，即a、b共线并且同向，又|b|1b解法二：令b(x，y)，由|b|1，可得x2y21.由ab5可得，4x3y5.联立解得x答案：,【方法规律】,
8、1向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为：(1)适当选择基底(两个彼此不共线向量)；(2)用基底显示几何问题的条件和结论；(3)利用共线向量的充要条件、向量垂a直的充要条件，通过向量的运算解决平行、垂直、夹角和距离的证明和计算等问题.,(2009安徽)(本题满分4分)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OCxOAyOB，其中x，yR，则xy的最大值是_.,【答题模板】,解析：以O为坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系xOy，则OA(1,0),OB.设AOC，则OC(cos，sin)，由OCxOAyOB，得 解得 xy sin cos 2sin(30)，又0120，即3030150，则当3090，即60时xy取到最大值，最大值为2.答案：2,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,1.通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量相等等概念，将向量问题转化为三角函数问题，实现了图形、向量、三角的完美统一2本题为教材中求函数f(x)sin xcos x的最值问题创造了新的意境.,
