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1、(理解平面向量数量积的含义及其物理意义/了解平面向量的数量积与向量投影的关系/掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算/能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系/会用向量方法解决某些简单的平面几何问题/会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题),4.3 平面向量的数量积及平面向量应用举例,1两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则AOB(0)叫a与b的夹角注意：当0时a与b同向；当时，a与b反向；当时，a与b垂直，记ab；2平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a|b|cos 叫a与b的
2、数量积，记作ab，即有ab|a|b|cos.3“投影”的概念：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影4数量积的的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos 的乘积,5性质：两个非零向量a，b(1)abab0.(2)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别的aa|a|2或|a|.(3)|ab|a|b|.6运算律：abba；(a)b(ab)；(ab)cacbc.,1已知|a|2，|b|4，ab4，则a与b的夹角为()A30 B60 C150 D120解析：答案：D,2若向量a(1,2)，b(1，3)，则向量a与b的夹角等于()A45 B60 C12
3、0 D135解析：答案：D,3两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2；(ab)(ab)0.其中正确的式子有()A2个 B3个 C4个 D5个解析：ab0，正确，ab与ab方向不同，错误|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|.正确(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正确当|a|b|时(ab)(ab)0不成立错误，故选B项,答案：B,4(2009江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.解析：ab|
4、a|b|cos 2 cos 303.答案：3,向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等，向量的运算类似于实数的运算，要注意二者之间的联系和区别，有些问题从运算律到运算结果都非常类似，例如a2b2(ab)(ab)等，同时要注意：数形结合思想方法的运用；向量加法、减法和数乘向量的结果是向量，而向量数量积的运算结果是实数,【例1】(1)证明：(ab)2a22abb2；(2)设a、b是夹角为60的单位向量，求|2ab|、|3a2b|；2ab,3a2b解答：(1)证明：(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2ba(abb2)a22abb2.(2)|2ab|2(2ab)24
5、a24abb244|a|b|cos6017，|2ab|.同理可求|3a2b|.,cos2ab,3a2b又02ab,3a2b180，2ab,3a2b60.,2由于两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为满足0180，所以用,1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：,【例2】已知a、b满足|ab|ab|，|a|b|1，求|3a2b|.解答：由|ab|ab|得，|ab|23|ab|2，即(ab)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即ab，|3a2b|,变式2.已知三个向量a、b、c两两所夹
6、的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角解答：由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120，|abc|设向量abc与向量a的夹角为，则cos即150，故向量abc与向量a的夹角为150.,向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题,【例3】已知向量m(cos，sin)和n(sin，cos)，(,2)，且|mn|，求cos 的值,变式3.已知向量OAa(cos，sin)，OB
7、b(2cos，2sin)，OCc(0，d)(d0)，其中O为坐标原点，且0.(1)若a(ba)，求的值；(2)若，求OAB的面积S.解答：(1)由a(ba)a(ba)0aba20，又|a|1，|b|2，a，b|，2cos|1cos|.,(2)|OA|1，|OB|2，记OB，OC1，OA，OC2，OC(0，d)，d0，,1有了向量的几何表示和代数表示，就为研究和解决几何问题提供两种新的方法向量法和坐标法2向量的线性运算、平面向量的数量积，向量的平行与垂直，都有它的几何表示和坐标表示，它们的形式虽然不同，但实质完全一样，在解决具体问题时要灵活选择3向量的坐标表示使向量运算完全数量化，致使一些证明题
8、的过程表现在计算上，这是坐标法的独到之处,【方法规律】,4用坐标表示向量解决几何问题的大致过程为：(1)适当建立直角坐标系，写出相关点坐标；(2)用点的坐标表示所需向量坐标；(3)利用向量的坐标表示进行计算或证明.,(2009全国)(本题满分5分)设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为(),解析：解法一：由ab0如图建立直角坐标系xOy，则a(1,0)，b(0,1)设c(cos，sin)(ac)(bc)(1cos，sin)(cos，1sin)cos2cos sin2sin 1sin cos 解法二：(ac)(bc)c2c(ab)1|c|ab|答案：D,【答题模板】,1.本题灵活全面地考查向量的运算如解法二2可通过建立坐标系，利用向量的坐标运算将问题转化为求三角函数的最小值.,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,
