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1、中南财经政法大学信息系,第一节 二次型及其标准形,第六章 二次型,定义6.1 称n元二次齐次函数,(6.1),为 的一个n元二次型，若其中系数 均为实数，称之为实二次型。本章只讨论实二次型。,一、二次型的定义,(6.1)式可以写成,记,(6.2),f 也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式：,证明如下:,称式（6.2）为二次型（6.1）的矩阵形式，矩阵A称为二次型 所对应的矩阵，矩阵A的秩称为二次型 的秩。在A中，为（6.1)中 的系数，为（6.1）中混合项系数 的一半。显然，A是一个n阶对称矩阵，即。,从二次型的定义可以看到：(1)二次型的矩阵都是对称的矩阵。(2)二次型和它的矩阵是一一对应的。
2、,例1 1）写出二次型 所对应的矩阵。2）写出矩阵 所对应的二次型。,解 1）原二次型所对应的对称矩阵为：,2）矩阵对应的二次型为：,定义6.2 设有两组变量；，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有：,（6.3）,二、线性变换,则称上式为由 到 的一个线性变换（或线性替换）,由系数组成的矩阵,称为线性变换（6.3）的矩阵。,记；，那么，（6.3）式可以写为：,若，则称（6.3）式为可逆（或非退化）的线性变换。若C为正交矩阵，则称（6.3）为正交线性变换。,注意：本章中的线性变换都为可逆或正交线性变换.,本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。,做
3、线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二次型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是合同。,定义6.3 设A和B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得，那么，称A与B合同。,合同关系具有下列性质：,(1)反身性(2)对称性(3)传递性(4)合同的矩阵有相同的秩,三、矩阵的合同关系,定理6.1 二次型经非退化线性替换后仍为二次型，且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。,证明：设二次型，经过可逆线性替换,得：,设，则可得：,又因为,所以B是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵,又因为有，C可逆，所以A与B合同。,注：新二次型的秩与原二次型相等。,第二节 化二次型为标准形,定义6.4 若二次型 经过可逆线性替
4、换 化为,（6.4）,称这种只具有平方项的二次型（6.4）为二次型（6.1）的标准形.,一、二次型的标准形,将二次型的标准型化成矩阵形式，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式：,二次型 的秩等于中非零元素 的个数,说明,定理6.2 任意一个二次型 都可以经过非退化的线性变换 化为标准形：,二、配方法化二次型为标准形,证明：数学归纳法。,定理6.2的矩阵描述：,定理6.3 任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同。即对任意一个对称矩阵A，存在一个可逆矩阵C，使，D为对角形。,证明：设A为n阶对称矩阵，那么可以得到唯一的二次型,根据定理6.2，可以通过可逆线性变换 化为标准形，其中D为对角形。又根据定理6
5、.1可知,解,例2,所用变换矩阵为,例3 化二次型 为标准形，并求所用的非退化线性变换。,解 在二次型 中，不含有 的平方项，而含有交叉项，为了利用上面配方时所用的方法，先作可逆线性变换：,（6.6）,再用例3的方法进行配方，即,令 即（6.7）,在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将（6.7）式代入（6.6）式，可得：,即为所求的可逆线性变换,此时，原二次型所对应的标准形为：,配方法化二次型标准形：,（1）若二次型中含有平方项，则在针对某个含平方项的变量进行配方时，应对所有含此变量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的其它变量进行配方，直到所有的变
6、量都完成配方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，使得原二次型变为标准形。,(2)若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.,思考题,P155例6.4（试用不同的变换）,思考题解答,三、正交变换化实对称矩阵为标准型,证明：设 是实二次型，则A为实对称矩阵，则一定能找到一个正交矩阵Q，使得：,其中 为A的全部特征值,则,（6.10）,作正交变换,从而得到二次型的标准形,用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤：,1）求出实二次型的矩阵A的全部特征值,2)求出使A对角化的正交矩阵Q,即,3)作正交线性替换，可使二次型化为标准形：,解,
7、1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例4,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例5,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用配方法，或者初等变换方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的非零项数必定相同，项数等于所给二次型的秩,注意：,
