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1、1,概率论与数理统计,(六)开始王 柱 2013.3.18,2,定义:随机试验E,样本空间=e,(,A,P)为概率空间,对于中的每个 e,都有一个实数X(e)与之对应。,这样就得到一个定义在上的单值实函数 X=X(e)，称为随机变量。,对于任意的实数集合 L，X 属于 L 表示 事件 e|X(e)属于L。,令 PX(L)=P(e|X(e)L),则(R,PX)也为 概率空间。在其上,令 X*=X*(x)=x，也是随机变量。注意 X 与 X*取值的概率情况相同。,3,*随机变量的分布函数,称为X的分布函数。,X的分布函数F(x)是普通的函数。表示 X落在区间(-x 上的概率。,X的分布函数 F(x
2、)的性质:,10 F(x)是一个不减函数。,20 0 F(x)1。且左无穷远点为0,右无穷远点为1。,30 F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。且间断点最多有可列个。,定义2.3.1:X为一个随机变量,x 是任意实数,函数,4,*离散随机变量的分布函数,设：离散随机变量可能取的值为 xk(k=1,2,),X 取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,),F(x)=PX x 为阶梯函数,跳跃点在xk处,且最多有可列个，跃度为 pk。,5,（0）、(0-1)分布,定义；随机变量X只可能取 0 或 1 两个值。它的分布律是 P(X=k)=pkq(1-k),k=0,1(0p1)称此
3、X为服从(0-1)分布。,分布函数F(x)为,0,1,1-p,6,若,X为n重贝努利试验中事件A发生的次数.X这个随机变量,它所有可能取的值为 xk=0,1，2，,n。取这些可能值的概率为 pk=P(X=k)=Cnk pkq(n-k)(k=0,1,2,n),称此X为服从参数为n，p的二项分布，记为Xb(n,p)。,（一）、贝努利试验、二项分布,7,二项分布图,0,5,10,15,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,0,5,10,15,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,参数 n=40,p=0.1,8,（二）、几何分布,若,随机变量X,它所有可能取的值为 1，2，3,取这些可能
4、值的概率为,则称随机变量 X 服从几何分布。,前已证明，在独立试验序列中，第 k 次试验首次出现“成功”的概率服从几何分布。,9,（三）、超几何分布:,设一堆同类产品共 个，其中有 个不合格品。现从中任取 个（假定），则这 个产品中所含的不合格品数 是一个离散型随机变量,概率分布如下：,这里。这个概率分布称为超几何分布。,10,（四）、泊松分布,若,随机变量X,它所有可能取的值为 xk=0，1，2，取这些可能值的概率为pk=PX=xk=,k=0,1,2,其中 0 为常数,称 X 服从参数为 的泊松分布,记为X()。,11,泊松分布图,0,5,10,15,0,0.05,0.1,0.15,0.2,
5、0,5,10,15,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,参数=4,12,*连续型随机变量的概率密度,则 称 X 为连续型随机变量,其中 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。,概率密度f(x)的性质:,10 f(x)是一个非负函数。,30 Px1X x2=F(x2)-F(x1)=f(x)在区间(x1 x2上的积分。,40 若f(x)在点x处连续，则F(x)=f(x)。,定义:随机变量X分布函数F(x),存在非负函数 f(x),对于任意实数x有，F(x)为 f(x)在区间(-x上的积分,x1=x2,注意，这时F(x)为连续函数。,20 f(x)在全区间上的积分为1。,13,1.连续型随
6、机变量X一定具有概率密度fX(x),-x;,2.反之,有一个非负可积函数f(x),其在全区间上的积分为1。则它一定是某个连续型随机变量X的概率密度函数.实际上：令FX(x)为该f(x)特定的一个原函数(FX()=1),记 Px1 X x2=FX(x2)-FX(x1)则(R,P)为概率空间,随机变量X(x)=x的概率密度函数为该f(x)。,14,（1）、均匀分布,定义：随机变量X的概率密度函数为f(x)=1/(b-a),axb;=0,其它。,则称此 X 在区间(a,b)上服从均匀分布。,（几何概率）,15,在区间(a,b)上服从均匀分布的分布函数为:,F(x)=0,xa;=(x-a)/(b-a)
7、,axb;=1,bx。,16,其概率密度函数与分布函数图为,一般:若随机变量X的概率密度函数为,则称此 X 为服从参数为 的指数分布。分布函数为：,参数=1/3 的指数分布。,（2）、指数分布,17,（3）、正态分布,若,连续型随机变量X的概率密度函数为,其中,(0)为常数,称服从参数为,的正态分布,记为N(,2),正态分布的分布函数为,18,=5,=8,19,解释密度函数的图形:,1.曲线关于x=对称,2.曲线在x=处取到最大值,3.曲线在x=处有拐点,并以x轴为渐近线,4.固定,曲线以位置参数,5.固定,越小曲线越高越尖,特别,当=0,=1时称X服从标准正态分布,此时,概率密度记为(x),
8、分布函数记为(x),20,标准正态分布的分布函数记为(x),特别,当=0,=1时称X服从标准正态分布,此时,概率密度记为(x),(做成附表2),21,标准正态分布的概率密度函数图为,z,22,定义:设X N(0,1),若z满足条件 PXz=,0 1则称z为标准正态分布的上分位点.即 1-(z)=。,定义:设X N(0,1),若z|满足条件 P|X|z|=,0 1则称z|为标准正态分布的（双侧）分位点.,显然,z|=z/2,23,一、离散随机变量函数的分布,设：离散随机变量可能取的值为 xk(k=1,2,),X 取可能值的概率为 pk=P(X=xk)(k=1,2,),2.4 随机变量函数的分布,
9、Y=g(X)的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).取相应可能值的概率为 rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).,见例1:,24,设：离散随机变量可能取的值为,y=(x-1)2的可能取值也是离散的。记为yj(j=1,2,).取相应可能值的概率为 rj=Pg(xk)=yj对k=1,2,求和,(j=1,2,).,例1:,xk=-1 0 1 2pk=0.2 0.3 0.1 0.4,yj=0 1 4pj=0.1 0.7 0.2,例06-1,25,解 由 X 的概率分布为,例2.5.1 设随机变量，求（1）随机变量 的概率分布；（2）随机变量 的概率分布；（3）随机变量
10、的概率分布。,例06-2,26,得到：（1）随机变量 的概率分布；,（2）随机变量 的概率分布；,（3）随机变量 的概率分布。,0.343,0.441,0.189,0.027,0.63,0.37,0.343,0.468,0.189,27,随机变量X具有概率密度fX(x),-x;求Y=g(X)的概率密度 fY(y).,解:g(x),取值在区间 a b上;分段考虑：FY(y)=0,y a;FY(y)=1,b y;而对 bya FY(y)=PY y=Pg(X)y=PX L(y),关键是解出L(y)来，再求导。,二、连续型随机变量函数的分布,28,例3：随机变量X具有概率密度fX(x),-x;求Y=X
11、2的概率密度 fY(y).,解:g(x)=x2,取值在区间 a=0 b=)上;分段考虑：FY(y)=0,y 0;而对y0 FY(y)=PY y=PX2 y=P-y X y,特别,XN(0,1),Y=X2称为自由度为1的2分布.,例06-3,29,例2.5.3 设随机变量的概率密度函数 求随机变量 的概率密度函数。,解:,随机变量 的取值范围是，随机变量 的取值范围是，先求 的分布函数。,例06-4,30,综合上述求得 的分布函数,将 在开区间关于 求导，得 的概率密度函数,为不可能事件，,得到,31,fY(y)=fXh(y)|h(y)|,ayb,=0,其它,其中 a=ming(x),b=max
12、g(x),h(y)是g(x)的反函数。,证明思路:g(x)0,严格单调,a、b存在,反函数h(y)存在,分段考虑：FY(y)=0,ya;FY(y)=1,by;对aybFY(y)=PY y=Pg(x)y=PX h(y)=FX(h(y),定理:随机变量X具有概率密度fX(x),设函数g(x)处 处可导且有g(x)0(或恒有g(x)0)则Y=g(X)是 连续型随机变量,其概率密度fY(y)为,32,例2.fX(x)=x/8,0 x4;=0,其它.Y=2X+8=g(X),求fY(y),解:g(x)=20;a=8;b=16;反函数存在,h(y)=(y-8)/2;于是,对8y16fY(y)=fXh(y)|
13、h(y)|=(1/8)(y-8)/2)(1/2)=(y-8)/32,=0,其它,例06-5,33,例4,随机变量X服从参数为,的正态分布N(,2).Y=cX+d,c非0,求：fY(y).,例06-6,34,解:g(x)=cx+d,g(x)=c,或0,或0;a=-;b=;反函数存在,h(y)=(y-d)/c,h(y)=1/cfY(y)=fXh(y)|h(y)|=fX(y-d)/c)|1/c|,35,Y服从参数为(c+d),(c)的正态分布N(c+d),(c)2)。,取c=1/,d=-/,则Y服从参数为(0,1)的标准正态分布N(0,1)。,36,引理:XN(,2)则Z=(X-)/N(0,1),证
14、明:PZ x=P(X-)/x=PX+x,令 u=(t-)/,PZ x,证毕。,这是例2.4.4,也可以有如下的证明,37,由引理:XN(,2)则 Z=(X-)/N(0,1),于是,Px1 X x2=P(x1-)/Z(x2-)/=(x2-)/)-(x1-)/),“查附表2”,38,例3.将一温度调节器放在某液体中.调节器定在d度,液体温度X N(d,0.52).1.d=90,求X小于89的概率,2.若要求保持液体温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?,Z=(X-d)/(0.5),1.PX89=(-2)=1-(2)=1-0.9772=0.0228,2.PX800.99(z)0.01;
15、(80-d)/0.5-2.327 d81.1635,例06-7,39,例5.设电压V=Asin(X)。A为已知常数,相角X在区间(-/2,/2)上服从均匀分布.求V的概率密度.,解:在区间(-/2,/2)上,g(x)=A sin(x),g(x)=A cos(x)0。x=h(v)=arc sin(v/A),h(v)=1/(A2-v2)。,在区间(-/2,/2)上,f(x)=1/,代入后得:在区间(-A,A)上,fV(v)=1/(A2-v2)。,例06-8,40,概率论与数理统计,(六)结束,作业:习题二的 19,22,25,41,19,42,22,43,25,再见,44,99-9-28,A B C D E F G H I R P Q,A B C D E F G H I R P Q,
