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1、第一节 微分中值定理 洛必达法则,一、微分学中值定理,二、罗必达法则,一、微分学中值定理,1、罗尔定理,定理1（罗尔定理）如果函数 满足下 列条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间（a,b)内可导；,（3）f(a)=f(b)。,则在开区间（a,b)内至少存在一点，使得,罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直又不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐标相等，那么在曲线上至少存在一点，在该点处的切线平行于x 轴(如下图）。,注意（1）罗尔定理中的三个条件中任意一个不满足，则结论可能就不成立，分别考察下面三个函数：,（2）罗尔定理的条件只是充分的而不是必要的条件。,解：由
2、于初等函数 在此闭区间上处处有定义，故它在此区间上连续。,又 在开区间（-1,1)内处处有定义，,再有，所以函数 在-1,1上满足罗尔定理的条件。,故函数 在此开区间内可导。,解：函数 在 内处处可导，并且满足,使得,因此至少存在一点,因此，有且仅有三个实根，分别在区间（1,2）,（2,3）,（3,4）内。,即 和 是 的三个实根。,至多有三个实根。,2、拉格朗日定理,定理2（拉格朗日定理）如果函数 满足下列条件：,（1）在闭区间a,b上连续；,（2）在开区间（a,b）内可导。,则在开区间（a,b）内至少存在一点，使得,也可写成,拉格朗日定理的几何意义：如果连续函数除两个端点外处处有不垂直又不
3、垂直于x轴的切线，那么在曲线上至少存在一点，在该点处曲线的切线平行于连接两端点的切线（如下图）,拉格朗日定理的推论,推论2 如果函数 和 在区间（a,b）内可导，且有，则有 与 在区间（a,b）内仅相差一个常数，即,为常数）,例3 证明：当 时，,证明 设,由推论1知，在（-1，1）内恒有,则,于是 时，,令，,得,又 时，,当 时，,因此，当 时，,例4 证明：当 时，,证明 设,上满足拉格朗日定理的条件，因此有,显然 在,即,由于，,所以,即,二、罗必达法则,如果当 时，两个函数 的极限都为零或都趋于无穷大，极限,下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而有效的方法罗必达法则。,通常称为未定式，分别记为。,1、型未定式：,定理：若函数 满足下列条件：,那么,例5 求,解,例7,解,解,例6 求,定理：若函数 满足下列条件：,那么,例8 求,解,例9 求,解,3、其他未定式,除了 型和 型未定式外，还有 型、,型、型等类型的未定式，,这些未定式可通过化为 型或 型未定式来计算，下面用例子说明。,例10 求,例11 求,解 这是 型未定式，将它转化为 型未定式计算。,例12 求,解 这是 未定式,，而,所以,又,解,而,所以,例13 求,例如考察,
