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1、4 大数定律与中心极限定理,首先，我们介绍一下切比雪夫（Chebyshev）不等式.,定理一（切比雪夫（Chebyshev）不等式）设随机变量 具有数学期望 方差 则对于任意正数 不等式,成立.这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式.,证 我们只就连续型随机变量的情况来证明，图4-2设 的概率密度为,则有（如图4-2）,证毕.,切比雪夫（Chebyshev）不等式也可以写成如下的形式：,这个不等式给出了:在随机变量 的分布未知的情况下,事件 的概率的下限的估计.,即任何随机变量分布在以 为中心,为半径的区域内的概率不小于,例如，在（4.1）式中取 得到,例1 设试用切比雪夫不等式估
2、计,解 令 则,故:,在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.在实践中人们还认识到大量测定值的算术平均值也具有稳定性.这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景.,定义,(1)若对任意的 有,则称随机变量序列 依概率收于,记 为,(2)对随机变量序列,记,若 则称 服从大数定律.,定理二（切比雪夫大数定理）,设随机变量两两互不相关，每一随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界，则对于任意正数，有,（4.2）,证明 由于 两两相互不相关，故,在上式中 令并注意到概率不能大于1，即得,再由切比雪夫不等式可得：,定理三（切比雪夫大数定
3、理的特殊情形）,设随机变量 相互独立，且具有相同的数学期望和方差.作前n个随机变量的算术平均,则对于任意正数，有,（4.3）,证明 由于,在上式中 并注意到概率不能大于1，即得,由切比雪夫不等式 可得：,定理二表明:当 很大时，随机变量 的算术平均 接近于数学期望,这种接近是在概率意义下的接近.即在定理的条件下，个随机变量的算术平均，当 无限增加时几乎变成一个常数.,设 是一个随机变量序列，是一个常数.若对任意正数，有,则称序列 依概率收敛于.记为,依概率收敛的序列还有以下性质,设 又设函数 连续，,这样，上述定理三又可叙述为设随机变量 相互独立，且具有相同的数学期望和方差则序列 依概率收敛于
4、,则,即,定理四（贝努利大数定理）,设 次重复独立试验中事件 发生的次数.是事件 在每次试验中发生的概率，则对任意正数，有,或,证明 因为，由第四章2例7，有,其中 相互独立，且都服从以 为参数的（0-1）分布.因而,由定理三 得,即,贝努里大数定理“表明事件发生的频率 依概率收敛于事件发生的概率”.,这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.就是说“当 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”.在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,定理三中要求随机变量 的方差存在.但在这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，我们不加证明地给出如下的
5、辛钦定理.,定理五（辛钦大数定理）,设随机变量 相互独立，服从同一分布，具有数学期望则对于任意正数，有,例2 设序列 独立同分布于,问 时 依概率收敛于多少？,解 由条件知独立同分布,且,显然贝努里大数定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦定理在应用中是很重要的.,从而由辛钦大数定理知.,定理六（独立同分布的中心极限定理）,设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差,则随机变量之和 的标准化变量,的分布函数 对于任意 满足,定理六也称列维林德贝格定理.,这就是说，均值为，方差为 的独立同分布的随机变量 之和 的标准化变量，当 很大时，有,在一般情况下，很难求出 个随机变量之和 的分布函数
6、，（4.8）式表明，当 充分大时，可以通过 给出其近似的分布.这样，就可以利用正态分布对 作理论分析或作实际计算.,这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式.这就是说，均值为，方差为 的独立同分布的随机变量 的算术平均，当 分大时，近似地服从均值为，方差为 的正态分布.,将（4.8）式左端改写成这样，上述结果可写成,这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.,例3 设甲、乙两商场销售某商品竞争2000位顾客,若每位顾客完全随意的选择一个商场,且其选择相互独立,问每个商场应组织多少件货源才能保证因脱销而使顾客离去的概率小于1？(设每位顾客只购该商品一件).,解 由于两商场情况相同,故仅考虑甲商场
7、,设甲商场组织了 件货源,令,则 独立同分布,再设,则 表示选择了甲商场的顾客总数,即,查表得,于是 件,从而每个商场应组织1052件货源,才能保证因脱销而使顾客离去的概率小于1.,由中心极限定理:近似服从,由题意要求,下面介绍另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况.,定理七（棣莫弗拉普拉斯定理）,设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意 有,证明 由第四章2 例7知可以将 分解成 个相互独立、服从同一（0-1）分布的随机变量之和，即有,其中 的分布律为由于由定理五有,这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布.当 充分大时，我们可以利用（4.11）式来计算二项分布的概率.下面举几个关于中
8、心极限定理应用的例子.,例4 某厂有400台同类型的机器,每台机器发生故障的概率都是0.02,假设各台机器是否出故障互不影响.试用三种不同的方法求发生故障的机器的台数不小于2的概率.,解 设出故障的机器的台数为.,方法一:用二项分布,因为 服从二项分布,方法二:用泊松分布作近似计算.,所以,所以,方法三:用中心极限定理.,故 近似服从 从而,此例说明当 很大，很小时用泊松分布比用正态分布计算较为准确.,思考,1.在离散型随机变量的数学期望定义中，为何要求绝对收敛？,3.有人说:“与 相互独立的充分必要条件是.”请问对吗？,2.有人说，若：“则”.请问对吗？,4.从废旧物资回收站收购的废铁叫再生
9、铁，在钢的冶炼中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同的地方，因而，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质（通常杂质是指：碳，硅，锰,砱，硫等）也不同，而冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加入相应的配料.假设每次化验均需3克充分混合的样品，且这3克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法是:随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取3克后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁的杂质百分比，但这样化验的结果通常与实际值会有较大误差，从而导致配料的加入不适当.事实上，每次样品的提取是极其简单的，样品的提取费用几乎为零，且每次提取样品的最小值可精确到0.05克，而每次的化验费用
10、则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样品提取方案，使得化验的杂质百分比与整批再生铁的杂质百分比几乎一致.,思考,5“股市有风险，投资需谨慎”，现在沪深两地上市的股票已近两千支.记股市首日开市时为零时()，股市首日开市时所有上市的股票综合指数记为100点.设至时刻 已有 家上市公司的股票纳入指数计算,记 为股市开市时刻 第 家上市公司的股票总股数(，时刻到时刻新增加第 家上市公司的 股计入指数；记 为 时刻第 家上市公司的股票单价，时刻股票的权重 是指该上市公司总股价 占全部上市公司股票总股价的份额：,思考,所谓股票指数是将各支股票涨跌的幅度乘以其权重作和的值，为股市开市时刻全部上市公司股
11、票的综合指数，设 时刻 到 时刻各家上市公司的总股数不变,即,则证交所 时刻与时刻的综指的递推计算公式为,例如：单支股价为5元，而今日收盘时该支股票的单价为5.1元，这表示一天之后该支股票股价上涨了百分之二，上证综指前一日收盘时的指数是3500点，而今日收盘时的指数是3675点，这表示一天之后，上交所所有股票的平均市值上涨了百分之五；当然，在这一天的交易中，各支股票有涨有跌，即使在股票大涨的行情下，股市也仍然是几人欢喜几人愁.假设某人现有30万元现金急需投资股市，而现在股市各股的平均股价为5元每股，且证交所规定股民购买任何一家上市公司的股票不得少于1000股，现该投资人不想冒个股的暴涨或暴跌风险，而只需望自己的投资不论增值或亏损均与大盘的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计一个适合该投资人的投资方案；若该投资人希望自己的投资不论增值或亏损均与大盘蓝筹股的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计一个适合该投资人的投资方案.,
