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1、第八章 能量法,一、杆件的应变能,二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理),三、卡氏定理,四、互等定理,五、虚功原理 单位力法 图乘法,六、超静定问题 力法,七、冲击应力,能量法/互等定理,上节回顾,功的互等定理,结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用。,2.力和位移应理解为广义力和广义位移。,当F1=F2=F 时,（力与位移成线性关系的结构）,能量法/互等定理,上节回顾,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,1、可能内力,可能位移,虚位移,2、虚
2、功原理,在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。,外力虚功,内力虚功,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,3、单位力法 用途：计算任意点处位移（广义）方法：利用虚功原理 第一步 构造一单位力状态：（1）去掉原结构全部载荷（只保留所有杆件 和约束）；（2）在所求位移处施加一个对应单位力；（3）计算结构只在此单位力作用下各 截面的内力,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,第二步 取原结构的实际位移状态作为单位力 状态的虚位移。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,d(l),d,d 原状态，真实载荷引起
3、适用：线性、非线性结构。,据虚功原理,单位力引起的内力,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,4、Mohr积分,5、图乘法,莫尔积分转化为外载荷引起的弯矩图的面积和其形心对应的单位载荷弯矩的乘积。,利用有关图形的乘法运算来计算积分的方法,称为图乘法或图形互乘法。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,图乘法注意事项:,1、图乘法是莫尔积分的简便计算方法,因此它的适应范围和莫尔积分类似。2、图乘法不仅仅适用于弯矩的Mohr积分,也同样适用于轴力和扭矩的Mohr积分计算。3、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样,图乘法得到的代数值取负号,反之为正。4、如果外力弯矩图不光滑，或者单
4、位力的弯矩图是折线，则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,上节回顾,例：如图简支梁受均布载荷作用，求跨中C点的挠度。,解：先作出外力弯矩图。,要求跨中C点挠度，就在C点施加横向的单位集中力。,然后作出单位集中力的弯矩图。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,由于单位力弯矩图是折线，所以应该分段使用图形互乘法。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,例：求如图变截面悬臂梁自由端的挠度。,解：使用图乘法：,作出变截面梁在外载荷作用下的弯矩图。,由于要计算自由端的挠度，应用单位力法，在梁的自由端施加横向的单位集中力。,作出梁施加单位力时的弯
5、矩图。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,由于是变截面梁，AC段和BC段弯曲刚度不一样，要分段应用图乘法。,又因为AC的外力弯矩图为梯形，可以把它分解为三角形和矩形的叠加，分别应用图形互乘法，所以弯矩图分为三部分：,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,根据图乘法，自由端的挠度为：,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,例 如图所示平面直角刚架，其弯曲刚度EI为常数。试求截面C的挠度和转角。,解：应用图形互乘法，首先作出外力弯矩图。,为求C截面转角，在C截面施加单位力偶。作出单位力偶的弯矩图。,为求C截面挠度，在C截面施加单位力。作出单位力偶的弯矩图。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,形心对
6、应的单位力弯矩分别如图所示。,则有：,挠度为负值表示与单位集中力作用方向相反。,能量法/虚功原理 单位力法 图乘法,第八章 能量法,六、超静定问题 力法,能量法/超静定问题 力法,1、超静定结构 静不定次数 静定基。,一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定,就称为静定结构。,一个结构,如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定,就称为超静定结构(内力超静定,外力超静定)。,超静定次数超静定结构中多余约束的个数。,静定基去除多余约束后得到的静定结构。,2、超静定结构变形的一般求解方法,能量法/超静定问题 力法,(2)建立静定基的静力平衡方程；,(3
7、)由解除约束处变形协调条件建立几何方程；,(3)应用变形与内力之间的物理关系代入 几何方程，得到补充方程；,(4)补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知 反力。,(1)解除多余约束，得静定基，在解除约束处用 未知反力代替原约束的作用；,3、力法正则方程 求解思路和前面求解超静定结构变形的方法类似,只是在求解静定基的变形时使用单位力法和图形互乘法。,求解过程,(1).判定超静定次数(2).解除多余约束,构造静定基(3).由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形(4).补充变形协调方程求解多余约束力,能量法/超静定问题 力法,例 如图超静定梁,EI为常数,试求B点的约束反力。,解:(1)判断超静
8、定次数:,一次超静定!,(2)解除多余约束,构造静定基:,B.解除B点的可动铰支座,补充横向集中反力,A.解除A点固定端的转动约束变为固定铰支座,补充反力偶作用,采用方案B。,能量法/超静定问题 力法,(3)用单位力法求解静定基的变形,由于要在B出建立几何协调方程,所以需求B点的横向挠度,故在B点施加横向单位力(假设与支反力方向相同),外载荷=力F+支座反力X1,单位力(与支座反力X1方向相同,大小为1),图形互乘法,作弯矩图:,由于单位力和支座反力方向相同,同为集中力,所以弯矩图相似,仅仅数值相差X1倍。,能量法/超静定问题 力法,(4)由图乘法建立变形协调方程,单位力和外力F互乘的结果,单
9、位力和支反力力X1互乘的结果,由于支反力和单位力的弯矩(内力)图类似,上式可写为:,其中:,是单位力和自身互乘的结果,这种以未知力为对象的求解方法称为力法。上式就称为求解超静定问题的力法正则方程。,能量法/超静定问题 力法,由图形互乘法:,代入:,得:,对于多次超静定问题有:,能量法/超静定问题 力法,例：简支梁AB,其跨中作用有横力F,因刚度不足,用三根杆加强。已知梁的弯曲刚度为EI,各杆（1，2，3）的拉压刚度为EA,且I=Aa2/10，求跨中C截面的挠度。,解：（1）判断超静定次数。,在静定结构的基础上加入三根杆，多加了三个未知内力，由D点的平衡可得到两个附加平衡方程，所以本问题是一次超
10、静定问题。,这类超静定是由多余维持平衡所必需的杆件引起的，称为内力超静定问题。,能量法/超静定问题 力法,（2）解除多余杆件约束（断开杆件），得到静定基。比如截开杆件1。,截开多余杆件是求解内力超静定问题的一般方法。,变形协调条件是被截开杆件的两个断面的相对位移为零。,杆件截开后，在两个断面分别方向相反的单位力。以此为基础应用单位力法得到的与之对应的位移是两截面的相对位移。,如图，截开杆一，在被截开的两个断面上分别施加单位轴力。,思考：为什么只需要施加单位轴力？而不需要施加单位剪力和单位弯矩。,能量法/超静定问题 力法,（3）由图形互乘法建立几何协调方程求解杆件内力（力法正则方程）。,物理意义
11、：两断面轴向相对位移为零。,由于变形几何协调条件设计轴向变形，所以要考虑杆件1，2，3轴力的贡献。这儿假设忽略AB杆件的轴向变形。,分别作外力F和单位力的弯矩图：,能量法/超静定问题 力法,同时考虑1，2，3杆的轴力和AB梁的弯矩有：,静定基上仅作用有单位力时有：,静定基上仅作用有力F时：,又：,所以有：,能量法/超静定问题 力法,弯矩图互乘有：,将轴力和弯矩互乘结果代入力法正则方程，有：,这样就求得了杆一的内力。,能量法/超静定问题 力法,杆1的内力求出后，梁AB上的弯矩是力F引起的弯矩和杆1内力引起的弯矩的叠加。,+,=,为求C点挠度，在C点处施加单位力（在静定基上，杆1已经等价为外力X1
12、），得到弯矩图如下。,*,￥,能量法/超静定问题 力法,作用在C点的单位力不引起杆1，2，3的轴力，将两弯矩图互乘有：,能量法/超静定问题 力法,利用结构的对称性判断结构内力。,能量法/超静定问题 力法,图a所示的是一平面封闭框架，其弯曲刚度为EI，试作其弯矩图。,解：此结构为内力超静定问题。,由于结构和载荷均对称，可将结构沿AB截开。,一般来说，截面A和B处均有轴力，剪力和弯矩三个未知内力，方向如图所示。,由结构和载荷的对称性有：,MA=MB,结构由三次超静定转化为一次超静定问题。,能量法/超静定问题 力法,为求MA，需要建立A点（或者B点）处的几何协调方程，同样地，由对称性可知，A点或者B
13、点的转角都为零。在A，B两点分别施加单位集中力偶，如图：,分别作出框架在力F和集中力偶作用下的弯矩图：,单位力偶作用下的弯矩图,力F作用下的弯矩图,能量法/超静定问题 力法,根据力法正则方程：,M10,MF,根据图形互乘法：,所以有：,则：,弯矩图如图所示,能量法/超静定问题 力法,A，B两点有无相对水平位移？如何计算？,能量法/超静定问题 力法,解：此结构为超静定结构，,由结构对称性：,必须借助几何协调方程。,解除C，D两点的铰支座得到静定基。,能量法/超静定问题 力法,分别作出静定基在外力偶T和单位力作用下的扭矩图和弯矩图。,由力法正则方程：,其余强度计算略。,由图形互乘法有：,代入力法正
14、则方程有：,能量法/超静定问题 力法,解：为两次超静定问题。解除A点的约束，并作用水平和铅垂的单位集中力。,在静定基上分别作均布力和两个单位集中力的弯矩图如下图所示。,令水平力为第一个未知反力，铅垂力为第二个。,能量法/超静定问题 力法,根据图形互乘法有：,代入力法正则方程：,有：,能量法/超静定问题 力法,思考:1.该方程有什么物理意义？,能量法/超静定问题 力法,力法正则方程：,2.为什么有,第八章 能量法,七、冲击应力,能量法/冲击应力,一、冲击载荷 冲击应力 应力波,当载荷以极短的时间(一般在ms级)作用在结构上时,这种载荷称为冲击载荷。,结构在冲击载荷下产生的应力叫冲击应力。冲击应力
15、一般是以波的形式由冲击载荷作用点向结构其它点传播。这种波叫应力波。,跟结构的静平衡不同的是，结构在冲击载荷作用下的平衡一般要考虑各个质量点的惯性力。,比如说，用铁锤锤钉子，船身撞击桥墩，传动轴紧急制动等。,二、材料力学分析结构冲击应力的基本假设,材料力学在对结构进行冲击分析时，一般不考虑应力波的传播等现象，而是基于一些假设对结构的冲击应力进行整体评估，得到比较实用的结果。,1、将撞击物视为刚体，忽略被撞结构的重量，撞击后两者连成一体；2、撞击的应力立即传到结构各个部分，即应力波的速度无穷大；3、撞击时动能完全转化为势能，不考虑能量的耗散。,三、材料力学分析结构冲击应力的基本方法,能量法:考虑撞
16、击物的动能,并认为它完全转化为被撞结构的弹性能。,能量法/冲击应力,图a,b分别表示不同支撑方式的钢梁，有重量均为P的物体自高度H自由落下至梁AB的跨中C点，支撑弹簧的刚度系数k=100N/m,l=3m,H=50mm,P=1kN,钢梁的惯性矩I=3.40*107mm4,截面系数（模量）W=3.09105mm3,弹性模量E=200Gpa,试求两种情况下钢梁的冲击应力。,能量法/冲击应力,解：对于图（a），假设重物与梁撞击后两者连成一体，梁的变形保持为线弹性，当梁的挠度达到最大值时，撞击物的重力势能全部转化为梁的弹性能。相应的冲击载荷和动位移分别为：,则根据能量守恒有：,设冲击载荷与动位移之间满足
17、静力平衡关系。则根据简支梁跨中受横向集中力时的挠度求解公式有：,所以：,代入上式有：,即：,能量法/冲击应力,简支梁受集中力P作用时的静挠度(仅考虑重物的重量)为:,所以:,称为动载系数。,冲击载荷和冲击应力可写为：,将本题已知数值代入,则C截面的静挠度和动载荷系数分别为:,能量法/冲击应力,静载荷作用下梁的最大弯曲正应力为:,则最大冲击应力为:,当H=0时,即把重物突然放在梁上时,有:,能量法/冲击应力,对于图(b)所示的情况,截面C的静挠度应该包括弹簧的静变形,其值和动载系数分别为:,所以采用弹簧支座是减小冲击应力的有效方法。,能量法/冲击应力,对于自由落体的物体撞击线弹性体时，前面的公式
18、均适用。,能量法/冲击应力,当重物P以速度v水平撞击弹性体时，有：,能量法/冲击应力,推导过程略。,解：用10秒制动时有：,飞轮角加速度为:,飞轮转动惯量为:,所以扭矩为:,能量法/冲击应力,则轴内最大切应力为:,当飞轮紧急制动时有,飞轮的动能全部转化为轴的应变能:,两种制动方式轴内的最大切应力可以相差1000倍以上!,能量法/冲击应力,本章小结,一、杆件的应变能 克拉贝隆原理,应变能的求法:,1、外力功,线弹性结构(载荷-位移成线性关系):,上式是针对单一的广义力和广义位移的,如果线弹性体上作用有多个广义力和广义位移,则外力功和弹性体储存的内能可以写为:,这就是克拉贝隆原理,适用于线弹性结构
19、。,本章小结,2、应变能的内力功求法。,优点：不用计算外力作用点的位移。缺点：一般只适用于线弹性结构。,上式只适用于线弹性结构！,上式用到了叠加法，一般情况下求能量时不能运用叠加法！因为有交叉项！,例 求能量的各种方法！,二、卡氏定理 互等定理,本章小结,对于线弹性结构，其应变能对于任一独立广义外力的偏导数，等于该力的相应（广义）位移。即：,卡氏第二定理,重点，如何应用卡氏第二定理来求结构任意一点的位移。,卡氏第一定理,对于任意可变形固体，其应变能是独立广义位移的函数，即：,应变能对某一广义力对应的广义位移的偏导数，就等于该力。,本章小结,功互等定理：结构的第一力系在结构第二力系所引起的弹性位
20、移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起弹性位移上所做的功。,位移互等定理：单位广义力一所引起的与单位广义力二相对应的广义位移，在数值上等于单位广义力二引起的与单位广义力一相对应的广义位移。,互等定理的适用范围：线弹性结构！,二、虚功原理 单位力法 图乘法,本章小结,1、可能内力 可能位移,可能内力 能与外力保持平衡的内力,称为可能内力。对于静定结构,可能内力就是真实内力。对于超静定结构,可能内力有无限多种,只有同时满足变形协调条件的力才是真实内力。,可能位移 满足位移边界条件和变形连续性条件的位移称为可能位移。,虚位移就是微小的可能位移。,本章小结,2、虚功原理：在外力作用下处于平衡的结构
21、，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所作的功。外力虚功全部转化为结构的虚应变能。适用于一般变形固体，不要求线弹性条件。,3、单位力法，莫尔积分：,本章小结,一般公式,线弹性结构,4、图乘法：,本章小结,A、图乘法是莫尔积分的简便计算方法,因此它的适应范围和莫尔积分类似，即线弹性结构。B、图乘法不仅仅适用于弯矩的莫尔积分,也同样适用于轴力和扭矩的计算。C、如果单位力和外载荷引起的弯矩符号不一样,图乘法得到的代数值取负号,反之为正。D、如果外力弯矩图不光滑，或者单位力的弯矩图是折线，则应分段应用图乘法。梁的弯曲刚度发生变化时也应分段应用图乘法。,三、超静定问题 力法正则方程,本章小结,1.判定超静定次数2.解除多余约束,构造静定基3.由单位力法和图形互乘法求解静定基的变形4.补充变形协调方程求解多余约束力,本章小结,四、冲击应力,当重物P以速度v水平撞击弹性体时，有：,当重物P自由落体撞击结构时，有：,
