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1、,一、中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,2 中心极限定理,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.,当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
2、,在什么条件下极限分布会是正态的呢？,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,的分布函数的极限.,可以证明，若满足一定的条件，则上述极限分布是标准正态分布.,考虑,中心极限定理,这就是下面要介绍的,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,我们只讨论几种简单情形.,下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称列维一林德伯格（LevyLindberg）定理.,二、三个常用的中心极限定理,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,设X1,X2,是独立同分布的r.v.序列，且 E(Xi)=，D
3、(Xi)=，i=1,2,则,定理1表明，当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布r.v.之和近似服从正态分布.,定理2（Liapunov中心极限定理）,设X1,X2,是相互独立的r.v.序列，且 E(Xi)=i，D(Xi)=i2，i=1,2,记,若存在 0，使得,则,定理2表明，当n充分大时，,即，无论各个r.v.Xi(i=1,2,)服从什么分布，只要满足定理2的条件，当n很大时，它们的和就近似地服从正态分布.,定理3(De Moive Laplace定理),设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理3表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不
4、太小时），服从二项分布的r.v.Yn近似服从正态分布:N(np,np(1-p),证：,因为Ynb(n,p)，故有：,于是由LevyLindberg定理有:,Yn=X1+X2+Xn,其中Xi b(1,p)(i=1,2,n)，且相互独立.,而E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)(i=1,2,n).,设一批产品的强度服从期望为14,方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件.求:(1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率;(2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率.,n=100,设Xi是第i件产品的强度.E(Xi)=14,D(Xi)=4,i=1,2,100.,解:,例1,每箱产品的平均强度为,某
5、单位有200部电话分机,每部电话约有5%的时间要使用外线通话.设每部电话是否使用外线通话是相互独立的.求该单位总机至少需要安装多少条外线才能以90%以上的概率保证每部电话需要使用外线时可以打通?,解:,例,则 Xi b(1,5%)，且X1,X2,X200相互独立.,设该单位总机安装k条外线,则:,P每部电话需要使用外线时可以打通=P使用外线的电话数目k=PX1+X2+X200 k,求最小的k,使P每部电话需要使用外线时可以打通90%求最小的k,使PX1+X2+X200 k90%求最小的k,使,该单位总机至少需要安装14条外线.,某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交付保险费160元
6、.若一年内发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005.现有5000人参加此项保险.求保险公司一年内从此项业务所得到的总收益在20万元到40万元之间的概率.,解:,例,则 Xi b(1,p),p=0.005且 X1,X2,X200 相互独立,P20万元总收益 40万元=P20万元0.016万元保险费参保人数-2万 元赔金一年内发生重大人身事故的人数40万元=P200.0165000-2(X1+X2+X5000)40,np=25,np(1-p)=250.995,总收益在20万元到40万元之间的概率为0.6826.,这一讲我们介绍了中心极限定理.,在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,
