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1、第五章 正弦交流电路的电压、电流及相量表示,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,所谓正弦交流电路，是指含有正弦交流电源而且电路各部分所产生的电压和电流均为正弦电压和电流的电路。分析与计算正弦交流电路，主要任务是确定各种正弦交流电路中电压、电流和功率。交流电路中的电压和电流除了大小还有相位的问题，所以具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.1 正弦电压和电流,5.1.1 正弦量的三要素,正弦交流电路中的电压和电流都是随时间按照正弦规律变化的，如图所示，称之为正弦电压和正弦电流。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,正弦电流用正
2、弦函数可描述为,其中：称为电流 的振幅,它是电流变化过程中可能达到 的最大值。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,称为正弦电流的角频率，反映了其变化的快慢，单位是弧度/秒()。,角频率也可表示为,T是正弦电流变化一周的时间，为正弦电流的周期，单位是秒(S)；f是正弦电流每秒变化的次数，为电流的频率，单位是赫兹Hz。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,反映了某一瞬间正弦电流的电角度，称为相位。是正弦电流在计时起点t=0时的相位，称为初相位，简称初相。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,如图所示，若正弦曲线的计时起点选的不同，则初相角不同，由于正弦量是周期性变化的，规定初相
3、的取值范围为,综上所述，当正弦量的振幅、角频率、初相确定时，这个正弦量就确定了，所以将振幅、角频率、初相称为正弦量的三要素。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-1】,已知正弦电压 的振幅，初相，周期，试写出 的函数表达式，并绘出它的波形。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.1.2 同频率正弦量的相位差,在正弦电源作用下，电路中所有的电压或电流都是与电源同频率的正弦量。同一电路中的正弦量都采用相同的计时零点，重点关注是正弦量的相位之间的关系。,设相同频率的正弦电流和电压分别为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,二者的相位差用 表示，则有,可见，两个同频率正弦量
4、的相位差等于它们的初相之差，是与时间无关的常数。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,如图(a)、(b)所示，比较电流和电压超前或滞后的角度。,(a)(b),第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,在工程应用中，分析计算同频率正弦量相位差时，经常碰到以下三种特殊情况：,(1)若，即，则称 与 同相，(2)若，则称 与 正交。(3)若，则称 与 反相。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,(a)(b),(c)图5-5 两个正弦量同相、正交和反相,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-2】,已知正弦电流 和正弦电压 分别为,其中，试比较 与 间的相位关系。,注意：比较两个
5、正弦量的相位关系时，要求它们具有相同角频率，各正弦量均要用标准的正弦函数式表示。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.1.3 正弦电流、电压的有效值,正弦交流电路，我们主要关心电路的能量转换问题，正弦量的瞬时值、最大值都不能确切反映它们在转换能量方面的效果，所以它们不能用来表示正弦量的大小。这里我们定义有效值这个物理量来表示正弦量的量值。交流电和直流电具有不同的特点，但是从转换能量的角度来看，两者是可以等效的。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,一个正弦交流电流 i 和一个直流电流 I 分别流经同一电阻R，如果经过一个周期的时间两者所消耗的电能相等，就可以认为直流电流 I 和
6、正弦交流电流 i 具有相同的转换能量的效果，则直流电流 I 的数值称为这个正弦电流 i 的有效值。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,根据有效值的定义，则有,有效值用大写字母表示，如 I、U。,可见，最大值为1A的正弦电流在电路中转换能量的效果和0.707A的直流电流是相当的。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,同理，正弦电压的有效值为,正弦交流电的有效值与交流电的最大值有关，最大值越大，它的有效值也越大，最大值越小，它的有效值也越小。,在交流电路中各电气设备铭牌上所标的电流、电压值都是有效值。一般交流电流表、交流电压表的标尺都是按有效值刻度的。不加说明，交流量的大小皆指有效值
7、而言。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.2 复数的基本知识,在正弦交流电路中的电压和电流都是与正弦电源同频率的正弦量，频率是已知的，因此可以只表示出电路中正弦电压和电流的有效值和初相，这种表示方法称之为正弦量的相量表示。,相量是一个复数，正弦量用相量来表示后，各正弦量之间的计算就要按照复数的运算规律来进行。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.2.1 复数的表示,设A为一复数，a及b分别为其实部及虚部，则,式中j代表虚数单位，。上式的右端称为复数A的直角坐标形式。,式中，符号Re是对方括号中的复数取“实部”；符号Im的意思是对方括号中的复数取“虚部”。,第五章正弦交流电
8、路的电压、电流及相量表示,复数可以在坐标平面上表示出来，横轴是实轴，表示复数的实部；纵轴是虚轴，表示复数的虚部，如图所示。这样的坐标平面称为复平面。在复平面上每一点都唯一地对应于一个复数。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,复数不仅可用复平面上对应的点来表示，还可以用有向线段来表示。在原点O与点A之间联一直线，把这直线的长度记作r，称为复数A的模，模总是取正值。在这直线的A加上箭头，把它和实轴正方向的夹角记作，称为复数的辐角。如图所示。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,根据三角函数可知,因此，复数 A可表示为,又根据欧拉公式,则,在工程上，常把上式简写成,可读为“r在一角度”
9、。,这一表示方法称为复数的极坐标形式,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,复数运算时，常常需要进行直角坐标形式和极坐标形式之间的相互转换。这两种形式之间的转换关系如下所示：,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.2.2 复数的运算规律,复数的加减运算规律：两个复数相加(或相减)时，必须将复数表示成直角坐标形式，然后对应的实部与实部相加(或相减)，虚部与虚部相加(或相减)。如,相加、减的结果为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,复数的加减运算也可以在复平面上用图形来表示。设有两复数 和，在复平面上分别用有向线段OA(或点A)和有向线段OB(或点B)来表示，如图5-7(a)所
10、示。设有向线段OC为以OA和OB为边的平行四边形的对角线，并设点C所代表的复数为C，则由图5-7(a)可见：复数C的实部为，虚部为，即,所以，求两个复数的和可在复平面上根据平行四边形求和法则作图获得。另外，可通过类似方法在复平面上把两个复数的差求出来，如图5-7(b)所示。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,(a)(b)图5-7 复数相加减的图示,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,复数乘除运算规律：将复数表示成极坐标形式，两个复数相乘则对应的模相乘，辐角相加；两个复数相除则对应的模相除，辐角相减。如,通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐角为负。因此复数相乘相当于逆时针旋转矢量
11、；复数相除相当于顺时针旋转矢量。,检验学习结果,已知复数A=4+j5，B=6-j2。试求A+B、A-B、AB、AB。,解1,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.3 正弦量的相量表示,5.3.1 用相量表示正弦量,设正弦电流为,根据欧拉公式,，所以有,上式的虚部正好是正弦电流i(t)，即,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,其中,是一个复数，模是正弦电流的有效值，辐角是正弦电流的初相。由于在正弦电路中，所有电流都是与正弦电源同频率的正弦量，频率是已知的，因此只要表示出正弦电流的有效值和初相，便足以表征正弦电流。我们把这样一个能表示正弦电流有效值及初相的复数 叫做正弦电流的相量，简
12、称电流相量。,同样，正弦电压的相量为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,需特别注意地是，相量只能表征正弦量而并不等于正弦量。二者之间不能直接用等号表示等价的关系，只能用“”符号表示相对应的关系。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,相量是一个复数，它可以在复平面上用有向线段表示，有向线段的长度表示正弦量的有效值，有向线段与横轴正方向的夹角表示正弦量的初相，如图所示，相量在复平面上的图示称为相量图。同频率正弦量的相量可以画在同一个相量图上。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,相量用振幅来定义可表示为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-3】,已知正弦电压，写出
13、 和 的相量，并画出相量图。,【例5-4】,已知两个频率均为50Hz的正弦电压，它们的相量分别为，试求这两个电压的函数表达式。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.3.2 两个同频率正弦量之和,设有两个同频率正弦量,利用三角函数，可以得出它们之和为同频率的正弦量，即,用相量来求两个同频率正弦量之和,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,由于,而两个同频率的正弦电压的和(差)仍是同频率的正弦电压,u(t)可以表示为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,比较以上两个表达式可得,则有,同频率正弦量相加减的问题可以化成对应的相量相加减的问题。其步骤为：(1)由正弦量的函数式写出相应
14、的相量。(2)按复数运算法则求出和或差的相量。(3)由和或差的相量写出对应的正弦量。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-5】,求 和。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,求和、求差还可应用相量图法按照矢量的平行四边形法则来求解。也可按矢量的三角形法则计算两个相量的和与差，使过程简化。如图所示。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.4 基本元件伏安关系的相量形式,5.4.1 电阻元件,电阻处在正弦交流电路中，设电流为,按照电阻元件的伏安特性有,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,故得：电阻两端电压U和电流I的关系,用相量形式表示,第五章正弦交流电路的电压、
15、电流及相量表示,则得电阻元件伏安特性的相量形式,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.4.2 电感元件,用导电性能良好的金属导线紧密缠绕在某种材料制成的骨架上就成为实际的电感线圈。当线圈中通有电流时，在线圈内部及周围建立了磁场，电能转换为磁场能储存在电感线圈中。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,由于线圈的密绕使得磁场主要集中在线圈内部，通常用磁通 来描述磁场强弱，它与线圈的匝数相交链产生的磁链。在SI中，的单位与 相同，为韦伯，符号为。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电感元件是实际电感线圈的理想元件。其电路符号如图所示。,L电感元件的电感，为电感元件的参数。L大小
16、体现了电感元件在电流作用下产生磁场的强弱。SI中电感的单位为亨【利】，常用单位有微亨毫亨。,理想电感元件的磁链 总是与产生它的电流i成正比，有,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电感元件的伏安特性,根据电磁感应定律，电感元件两端的感应电压等于磁链的变化率。即,该式为电感元件的伏安关系式。注意：该式要在u,i为关联参考方向的前提下使用。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,当电感元件中的电流和电压取关联参考方向时，有,当u、i为非关联参考方向时有,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-6】,电感元件的电感L=100mH，u和i的参考方向一致，i的波形如图所示，试求各段时
17、间元件两端的电压uL，并作出uL的波形。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,对电感元件的伏安关系式进行积分可求出某一时刻电感的电流值。任选初始时刻t0后，t时刻的电流为,若取，则,由此说明，某一瞬间的电流能反映以前电压的情况，即电感电流有“记忆”电压作用。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电感元件的磁场能量,关联参考方向下，电感元件的瞬时功率,若t=0时电感电流为零无磁场存在，磁场能量为零，那么电感电流从i(0)=0增大到i(t)时，总共储存的磁场能量，就是在t时刻电感的磁场能量,上式表明电感元件在某时刻储存的磁场能量仅取决于该时刻流过电感的电流，而与电流的建立过程无关。,第
18、五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电感处在交流电路中，设电流为,按照电感元件的伏安特性有,伏安关系的相量形式,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,式中,称为感抗，单位为欧姆，是表示电感对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量，它与电源频率及电感成正比。,感抗的倒数 称为感纳，单位为西门子(S)。,故得：,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,用相量形式表示,即,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.4.3 电容元件,两块金属板用不导电的介质隔开就构成一个简单的电容器。当电容器的两极板间加上电压时，沿电压的方向将有等量的正、负电荷分别聚集在两个极板上，于是两极板间建立了电场，电
19、能转换为电场能储存在电容器中。当外加电压去掉后，由于两极板间是不导电的介质，所以电荷继续聚集在极板上，电场依然存在。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电容元件是各种实际电容器的理想元件，其电路符号如图所示。,C-电容元件的电容，为电容元件的参数。体现了电容元件在外加电压激励下储存电量的本领。SI中电容的单位为法【拉】，常用单位有微法、皮法。,理想电容元件的电荷量q总是与端电压u成正比，即,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电容元件的伏安特性,当电容两端加电压u时，在电容极板上聚集等量的正负电荷，电荷的移动形成电流，则有,当u、i为非关联参考方向时，有,第五章正弦交流电路的电压
20、、电流及相量表示,对电容元件的伏安关系式进行积分可求出某一时刻电容的电压值。任选初始时刻t0后，t时刻的电压为,若取，则,由此说明，某一瞬时的电压能反映以前电流的情况，即电容电压有“记忆”电流的作用。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电容元件的电场能量,关联参考方向下，电容的瞬时功率,若电容电压u(0)=0，极板上的电荷亦为零，无电场能量。那么电容电压从u(0)=0增大到u(t)时，总共储存的电场能量，就是在t时刻电容的电场能量,电容在某一时刻所储存的电场能量，仅取决于同一时刻电容两端的电压，而与电压的建立过程无关。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,电容处在交流电路中，设电
21、容两端的电压为,按照电容元件的伏安特性有,伏安关系的相量形式,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,故得：,式中,XC称为容抗，单位为欧姆，是表示电容对正弦电流阻碍作用大小的一个物理量，它与电源频率及电容成反比。,容抗的倒数 称为容纳，单位为西门子(S)。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,用相量形式表示,即,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.5 正弦交流电路的相量模型,5.5.1 基尔霍夫定律的相量形式,由耗能元件R、储能元件L、C以及正弦电源组成的正弦交流电路，其分析计算的依据仍然是元件的伏安关系和基尔霍夫定律。,KCL的相量形式,它表明，在正弦稳态电路中，流入任一
22、节点的各支路电流相量的代数和为零。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.5 正弦交流电路的相量模型,KVL的相量形式,它表明，在正弦稳态电路中，沿着回路的绕行方向所有电压降相量的代数和为零。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-8】,图中所示为电路中一个节点，已知,，求。,图5-21 例5-8的电路,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.5.2 阻抗与导纳,设无源二端网络如图5-22(a)所示，在正弦稳态情况下，端口电流 和电压采用关联参考方向。我们定义无源二端网络端口电压相量与电流相量之比为该电路的阻抗。记为Z，即,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,阻
23、抗的单位为欧姆()。将式中的相量表示成极坐标形式，可得,式中R和X分别称为阻抗的电阻和电抗；和 分别称为阻抗模和阻抗角。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,上面的转换关系表明，无源二端网络的阻抗模等于端口电压与端口电流的有效值之比，阻抗角等于电压与电流的相位差。因此，阻抗能够反映正弦交流电路中无源二端网络端口电压与电流之间的大小和相位关系，若，表示电压超前电流，电路呈电感性；，电压滞后电流，电路呈电容性；，电抗为零，电压与电流同相，电路呈电阻性。,或,称为欧姆定律的相量形式。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,在电流、电压采用关联参考方向的条件下，三种基本元件伏安特性的相量形式
24、是,根据阻抗的定义可得基本元件 R、L、C的阻抗分别为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,我们把阻抗的倒数定义是导纳，记为Y，即,或,导纳的单位为西门子(S)。同样将上式中的电流、电压相量表示成极坐标形式，可得,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,式中G和B分别称为导纳的电导和电纳；和 分别称为导纳模和导纳角。,上面的式子关系表明，无源二端网络的导纳模等于端口电流与端口电压的有效值之比；导纳角等于电流与电压的相位差。若，表示电压滞后电流，电路呈电容性；若，电压超前电流，电路呈电感性；，电压与电流同相，电路呈电阻性。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,该式也常称为欧姆定律的
25、相量形式。,元件 R、L、C的导纳分别为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.5.3 正弦稳态电路的相量模型,在前面几章的电路模型中，涉及的电流和电压都是时间的变量，故称为时域模型。在正弦稳态情况下，如果把时域模型中的元件用阻抗或导纳代替，电流、电压均用相量表示，这样得到的电路模型称为相量模型。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,(a)(b)图5-24 正弦交流电路的时域模型和相量模型,例如，对于图5-24(a)给出的正弦稳态电路(时域模型)，其相量模型如图5-24(b)所示。相量模型与时域模型具有相同的电路结构。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.6 正弦交流电
26、路的相量解法,5.6.1 正弦交流电路的相量解析法,分析直流电路时，各种分析方法及公式都是根据基尔霍夫定律和元件的伏安关系推导得出的。,交流电路KCL、KVL和元件伏安关系的相量形式为,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,对比之后不难看出这两种形式相同，差别仅在于：相量形式中不直接用电压和电流，而用相应的电压相量和电流相量；相量形式中元件用阻抗或导纳表示。在相量模型中，电压、电流正是用相应的相量表示，各元件用阻抗或导纳表示，所以在作出正弦交流电路的相量模型后，计算电阻电路时的一些公式和方法，就可以完全用来求电压相量和电流相量。注意到这一对应关系，计算电阻电路时的一些公式和方法，就可以完全
27、用到正弦交流电路中。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,1混联电路的分析计算,【例5-11】,电路如图5-25(a)所示，其中。求电流、。,(a)(b)图5-25 例5-11题图,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-13】,2用网孔电流法分析正弦电路,图5-27所示电路中，求各支路的电流。,图5-27 例5-13题图,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-14】,3用戴维南定理分析正弦电路,用戴维南定理计算例5-13中R支路的电流。,(a)(b)图5-28 例5-14题图,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,作出相量模型，电路结构不变，将电路中的电压、电
28、流都写成相量形式，每个元件都用阻抗或导纳表示。运用直流电路中所学的分析方法对相量模型进行分析计算，如网孔法，节点法和一些线性电路定理。计算所得结果是正弦量的相量。根据需要，由正弦量的相量写出对应的正弦量。,用相量解析法分析计算正弦交流电路，其一般步骤为：,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,5.6.2 相量图法,作相量图时，先选定某一相量作为参考相量。对并联的电路，一般以电压为参考相量；对串联电路，一般以电流为参考相量。规定参考相量的初相位为零。,用相量图来分析正弦交流电路的方法叫相量图法。,第五章正弦交流电路的电压、电流及相量表示,【例5-15】,RLC串联电路如图5-28(a)所示，试定性画出电流以及各电压的相量。,R、L、C并联电路中R、L、C支路电流的有效值分别为30A、40A、50A，求总电流有效值。,【例】,
