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1、第六专题 万有引力定律与天体运动,解题知识与方法研究,疑难题解答研究,例题4（星球运动的阻力）,例题1（天体轨道的判定）,例题3（卫星“怪像”）,例题5（飞船着陆问题）,例题6（飞船和宇航站对接问题）,例题2（利用万有引力作用下的质点 运动求椭圆曲率半径）,一、对宇宙中复杂的天体受力运动的 简化,二、引力问题的基本运动方程,三、行星绕日运动的轨道与能量,例题7（双星问题）,一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化,（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.,（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：,b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这时
2、问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.,二、引力问题的基本动力学方程,如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.,行星的横向加速度 等于零.,解题知识与方法研究,此式变化后即得开普勒第二定律：,三、天体绕日运动的轨道与能量,根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：,轨道方程为一圆锥曲线方程：,（1）,（即开普勒第一定律）；,（2）,（3）,例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日
3、点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.,解,计算新星体C的机械能.,所以C到太阳的距离为,研究式中的vA、vB：,因A作圆运动，,疑难题解答研究,所以,利用，C星体的机械能为,因此，新星体C的轨道为椭圆.,B作抛物线运动，机械能为零.,因而有,例2（利用引力作用下的质点运动求椭圆曲率半径）行星绕太阳作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，太阳质量记为MS.试用物理方法求椭圆各定点处的曲率半径.,解,行星运动情况如图.,由图可知,代入式得,由 解得,求顶点1处的曲率半径1：,将前面
4、得到的v1代入，,求顶点3处的曲率半径3：,将前面得到的v3代入，,即得,即得,例3（卫星怪像问题）质量为m的人造卫星在绕地球（质量为Me）的飞行过程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能严格按圆周轨道运动，而是缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球.因f 很小，轨道半径变化十分缓慢，每一周均可近似处理为半径为r的圆周轨道，但r将逐周缩短.试求在r轨道上旋转一周，r的改变量及卫星动能EK的改变量.,解,卫星的动能、势能、总机械能为,在运行中万有引力作为向心力,将此代入EK、E的表达式，可得到,卫星旋转一周摩擦力做功为,所以卫星每旋转一周，r的改变量为,动能的改变量为,由功能关系，当卫星旋转一周时，有
5、,即,例4（星体运动的阻力）一个质量为M、半径为R的星球以速度V通过质量密度为 的非常稀薄的气体,由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子.设相对于速度V，分子的热运动速度可忽略.分子间的相互作用不计.求作用在星体上的阻力.,解,为方便研究问题取星球为参照系.,气体分子的运动及与星球的碰撞如图所示.,在横截面为 的圆柱体内的分子才能与星球相碰.,研究圆截面边缘上的一个分子：,设被俘获前的瞬间（A点处）的速度为v.,由角动量守恒得,由机械能守恒得,设气体受到的阻力为f（等于星球所受阻力），,得到,例5（飞船着陆问题）一质量为m=12103kg的太空飞船在围
6、绕月球的圆轨道上运动，其高度h=100km.为使飞船落到月球表面，喷气发动机在图中P点作一短时间发动.从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10km/s，月球半径为R=170km，月球表面的落体加速度g=1.7m/s2.飞船可用两种不同方式到达月球（如图所示）：,（1）向前喷射气流，使飞船到达月球背面的A点（与P点相对），并相切.（2）向外喷射气流，使飞船得到一指向月球中心 的动量，飞船轨道与月球表面B点相切.试计算上述两种情况下所需要的燃料量.,解,设飞船喷气前的速度v0，月球质量为M，,月球表面的重力加速度为,代入上式，便得,则有,（1）,联立此两式消去vA解得,对喷气前后的短暂过程，由动
7、量守恒有,解得,（2）,从而飞船的速度变为,则由角动量守恒和能量守恒得,设喷出的气体质量为m1,联立此两式消去vB解得,对喷气前后的短暂过程，在沿原半径方向上由动量守恒有,解得,设喷出的气体质量为m2,例6 质量为M的宇航站和已对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n=1.25倍.某瞬间，飞船从宇航站沿运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR.问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇.,解,发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.,记地球质量为ME，发射前共同速度为u.,由,得,记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度
8、为V.,由动量守恒有,研究分离后的飞船：,由开普勒第二定律及能量守恒定律有,研究分离后的宇航站：,由开普勒第二定律及能量守恒定律有,设远地心点的速度为v，,设近地心点的速度为V，距地心r.,设飞船的周期为t，宇航站的周期为T.,由开普勒第三定律有,即,确定t/T：,因飞船运行一周恰好与宇航站相遇，所以,将代入，得,即,所以,由上述式求m/M：,得,可见k只能取两个值：k=10，11.,相应有,例7 一双星系统，两颗星的质量分别为M和m（设Mm），距离为d，在引力作用下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星体损失质量M.假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体
9、不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离.,解,需计算爆炸后的总机械能.,如图，爆炸前两星绕质心旋转.,旋转的角速度 满足,爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（M-M）位置、速度均不变.,旋转半径满足,新系统的势能为,新系统在新质心参照系中的动能为,由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为,注意到式中的,所以,进而得到系统在新质心系中的动能为,新系统仍被约束的条件是,另解,用二体问题折合质量法,爆炸前：,两星折合质量,两星折合质量,等效的运动如图（a）.,旋转的速度v 满足,爆炸后：,等效的运动如图（b）.,新系统的势能,新系统的动能,代入系统约束的条件,解得,对m2，由牛顿第二定律有,将（1）代入（2）：,则有,（3）式表明，若取m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力 的作用下按牛顿第二定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.,取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到m1的矢径为.,有,“卫星怪象”问题,卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统的总能量为,即,于是可知,对两端的变化量有,即,
