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1、5.3 平面向量的数量积要点梳理1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两非零向量a与b平行的充要条件是.,|a|b|cos,ab=|a|b|cos,0,ab=0,ab=|a|b|,基础知识 自主学习,2.平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质（1）ea=ae=；（2）非零向量a，b，ab；（3）当a与b同向时，ab=；当a与b反向时，ab=,aa=，|a|=;（4）cos=；（5）|ab
2、|a|b|.,|b|cos,|a|cos,ab=0,|a|b|,-|a|b|,a2,4.平面向量数量积满足的运算律（1）ab=（交换律）；（2）（a）b=（为实数）；（3）（a+b）c=.,ba,ab,a b,ac+bc,5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ab=，由此得到（1）若a=（x，y）,则|a|2=或|a|.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|=.（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab.,x1x2+y1y2,x2+y2,x1x2+y1y2=0,基础自测1.已知a=(2,3
3、),b=(-4,7),则a在b上的投影为（）A.B.C.D.解析 设a和b的夹角为，|a|cos=|a|,C,2.若|a|=2cos 15，|b|=4sin 15，a，b的夹角为30，则ab等于（）A.B.C.D.解析,B,3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a（bc）等于（）A.（26，-78）B.（-28，-42）C.-52D.-78 解析 a(bc)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).,A,4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),mn，则x等于（）A.1B.2C.3D.4 解析 由mn=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.,D,5.（2009江西
4、）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）b,则k=.解析 a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1),(a-c)b，b=(1,3),(3-k)1-3=0,k=0.,0,题型一 平面向量的数量积【例1】已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos,-sin)，且x.(1)求ab及|a+b|;(2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,0,|a+b|=2cos x.,(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos
5、2x-2cos x-1=2(cos x-)2-.x，cos x1，当cos x=时，f(x)取得最小值为-；当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.,探究提高（1）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识.（2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角 为,0，180，再分别求|a|，|b|，然后再求数量积即ab=|a|b|cos，若知道向量 的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,知能迁移1（1）已知O
6、是ABC内部一点，=0，且BAC=30，则AOB的面积为（）A.2B.1C.D.解析 由=0得O为ABC的重心.SAOB=SABC.又 cos 30=2，得=4.SABC=sin 30=1.SAOB=.,D,（2）（2009重庆）已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角是（）A.B.C.D.解析 a(b-a)=ab-a2=2,ab=2+a2=3 cosa，b=a与b的夹角为.,C,题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a=(cos(-),sin(-),b=（1）求证：ab；（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb，满
7、足xy，试求此时 的最小值.（1）可通过求ab=0证明ab.（2）由xy得xy=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于 t的函数，从而求出最小值.,思维启迪,(1)证明 ab=cos(-)cos(-)+sin(-)sin(-)=sin cos-sin cos=0.ab.（2）解 由xy得xy=0,即a+（t2+3）b（-ka+tb）=0，-ka2+（t3+3t）b2+t-k（t 2+3）ab=0，-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0.又|a|2=1，|b|2=1，-k+t3+3t=0，k=t3+3t.故当t=时，有最小值.,探究提高（1）两个非零向量
8、互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.,知能迁移2 已知平面向量a=(-,),b=(-,-1).(1)证明：ab;(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2-2)b,y=-ka+t2b,且xy，试把k表示为t的函数.(1)证明 ab=(,-1)ab.,(2)解 xy,xy=0,即a+(t2-2)b（-ka+t2b）=0.展开得-ka2+t2-k(t2-2)
9、ab+t2(t2-2)b2=0,ab=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,-k+4t2（t2-2）=0,k=f(t)=4t2(t2-2).,题型三 向量的夹角及向量模的问题【例3】（12分）已知|a|=1，ab=，（a-b）（a+b）=，求：（1）a与b的夹角；（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.解（1）（a-b）（a+b）=，|a|2-|b|2=，又|a|=1，|b|=3分 设a与b的夹角为，则cos=0 180,=45.6分,5分,（2）（a-b）2=a2-2ab+b2|a-b|=8分（a+b）2=a2+2ab+b2=1+2|a+b|=,设a-b与a+b的夹角为，10分则cos=1
10、2分,探究提高（1）求向量的夹角利用公式cosa，b=.需分别求向量的数量积和向量的模.（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若a=(x,y)，则|a|=.,知能迁移3 已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120.(1)计算：|a+b|;|4a-2b|;(2)当k为何值时，(a+2b)(ka-b)？解 由已知，ab=48(-)=-16.（1）|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-16)+64=48,|a+b|=4.,|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162,|4a-2b|=1
11、6.（2）若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0,ka2+（2k-1）ab-2b2=0.16k-16（2k-1）-264=0，k=-7.,方法与技巧1.数量积ab中间的符号“”不能省略，也不能用“”来替代.2.要熟练类似（a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律（、s、tR）.3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.4.一般地，（ab）c(bc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c共线的向量，同理右边（bc）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(ab)c(
12、bc)a.,思想方法 感悟提高,失误与防范1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.2.ab=0不能推出a=0或b=0,因为ab=0ab.3.ab=ac(a0)不能推出b=c.即消去律不成立.4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，应为120,而不是60.,一、选择题1.（2009宁夏）已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量 a+b 与a-2b垂直，则实数 的值为（）A.B.C.D.解析 a=(-3,2),b=(-1,0),a+b=(-3-1,2
13、),a-2b=（-3，2）-2（-1，0）=（-1，2）.由（a+b）(a-2b),知4+3+1=0.=-,A,定时检测,2.已知向量a,b的夹角为120，|a|=1，|b|=5，则|3a-b|等于（）A.7B.6C.5D.4,解析,A,3.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|ab|=|a|b|sin,若a=(-,-1),b=(1,)，则|ab|等于（）A.B.2C.2D.4 解析|a|=|b|=2，ab=-2，cos=又0，sin=|ab|=22=2.,B,4.已知非零向量a,b，若|a|=|b|=1,且ab，又知（2a+3b）(ka-4b)，则实数k的值为
14、（）A.-6B.-3C.3D.6 解析 由（2a+3b）（ka-4b）=0，得2k-12=0,k=6.,D,5.（2009全国）设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b=（）A.150B.120C.60D.30 解析 a+b=c,|c|2=|a+b|2=a2+2ab+b2.又|a|=|b|=|c|,2ab=-b2,即2|a|b|cosa,b=-|b|2.cosa,b=-,a,b=120.,B,6.在ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3，cos B=，则 等于（）A.B.C.3 D.-3 解析 由已知b2=ac，a+c=3，cos B=，得，得ac=2.则
15、=accos=2,B,二、填空题7.（2009江苏）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|=2，|b|=，则向量a和向量b的数量积 ab=.解析 由题意知ab=|a|b|cos 30=2=3.,3,8.设向量a,b满足|a-b|=2，|a|=2，且a-b与a的夹角为，则|b|=.解析 由已知得 即 ab=2.又|a-b|2=4=|a|2+|b|2-2ab，|b|2=4,|b|=2.,2,9.已知向量a=(x,1),b=(2,3x)，则 的取值范围是.解析 本题考查数量积的坐标运算及均值不等式求最值；原式=，当x=0时，原式=0，当x0时，原式=,当x0时，0 当x0时，0 综上所述，取值范围为
16、 答案,三、解答题10.已知点A（1,0）,B（0,1）,C（2sin，cos）.（1）若|=|，求tan的值；（2）若（）=1，其中O为坐标原点，求sin 2的值.解(1)A(1,0),B（0,1）,C（2sin,cos），=(2sin-1,cos),=(2sin,cos-1).|=|，,化简得2sin=cos.cos0（若cos=0,则sin=1,上式不成立）.tan=.（2）=（1，0），=（0，1），=（2sin，cos），=（1，2）.（）=1，2sin+2cos=1.sin+cos=.（sin+cos）2=.sin 2=.,11.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m
17、+n与b=2n-3m的夹角.解 由|m|=1，|n|=1，夹角为60，得mn=.则有|a|=|2m+n|=|b|=而ab=（2m+n）（2n-3m）=mn-6m2+2n2=-设a与b的夹角为，则cos=故a，b夹角为120.,12.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos 2C=1.（1）求角C的大小；（2）若向量m=(3a,-b),向量n=（a,-），mn，（m+n）(-m+n)=-16.求a、b、c的值.解（1）2sin2+cos 2C=1，cos 2C=1-2sin2=cos（A+B）=-cos C.2cos2C+cos C-1=0.cos C=或-1.C（0，），C=.,（2）mn，3a2-=0，即b2=9a2.又(m+n)（-m+n）=-16，-8a2-b2=-16，即a2+=2.由可得a2=1,b2=9,a=1,b=3.又c2=a2+b2-2abcos C=7,c=.,返回,
