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1、3-4 随机变量的独立性 一什么是随机变量的相互独立性？如何理解它的含义？二如何判断随机变量的相互独立性？,一什么是随机变量的相互独立性？如何理解它的含义？,两个随机变量的相互独立性,一什么是随机变量的相互独立性？如何理解它的含义？,设(X,Y)为二维随机变量，若对,则称随机变量X 和Y 相互独立。,任何实数 x,y 都有,随机变量 X 和 Y 独立的含义 随机变量 X 所描述的随机现象或随机试验的结果，与随机变量 Y 所描述的随机现象或随机试验的结果之间是相互独立的。,一随机变量的取值并不影响 另一随机变量取值的概率。,注记,（3）将一枚硬币连掷两次，,（2）一个人的姓氏笔画与其智商。,随机
2、变量独立的例子,（1）一城市中两个相距较远的路段在一定 时间内各自发生的交通事故数。,判断方法（一）一般情形,设 F(x,y)及 FX(x)，FY(y)分别是二维随机向量(X，Y)的联合分布函数及边缘分布函数，则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是：若对于所有 x,y,有,二、如何判断随机变量的相互独立性？,F(x,y)=FX(x)FY(y),二、如何判断随机变量的相互独立性？,思考题,二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为 pij=P X=xi,Y=yj(i,j=1,2,)则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是：对于(X,Y)的所有可能取的值(x
3、i,yj),有,判断方法（二）离散情形,P X=xi,Y=yj=P X=xi P Y=yj,二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为 pij=P X=xi,Y=yj(i,j=1,2,)则当 X 和 Y 相互独立时，有 P X=xi|Y=yj=P X=xi P Y=yj|X=xi=P Y=yj(i,j=1,2,),重要结论,设二维连续型随机向量(X，Y)的联合概率密度和边缘概率密度分别为f(x，y)，fX(x)，fY(y)，则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是：等式 几乎处处成立。,二、如何判断随机变量的相互独立性？,“几乎处处成立”的含义：在平面上除
4、去“面积”为 0 的集合外，处处成立。,判断方法（三）连续情形,f(x，y)=fX(x)fY(y),二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),则当 X 和 Y 相互独立时,有 f(x|y)=fX(x)f(y|x)=fY(y),重要结论,一个口袋中装有 5 只球,其中 4 只红球,1 只白球,每次从中随机抽取 1 只,连抽两次,令,例题1,二、如何判断随机变量的相互独立性？,X,Y,0,1,0,1,0,1/5,1/5,3/5,不放回抽样,放回抽样,X,Y,0,1,0,1,1/25,4/25,4/25,16/25,p.j,p.j,pi.,pi
5、.,1/5,4/5,1/5,4/5,1/5,4/5,1/5,4/5,X,Y 相互独立 PX=xi,Y=yj=P X=xi P Y=yj,二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维连续型随机向量(X,Y)N(0,0,1,1,)证明：X 与 Y 相互独立的充分必要条件是=0。,例题 2,X 和 Y 相互独立,f(x，y)=fX(x)fY(y),=0,例3 已知(X,Y)的联合 d.f.为,(1),(2),讨论X,Y 是否独立？,解,(1)由图知边缘 d.f.为,1,1,显然，,故 X,Y 相互独立,(2)由图知边缘 d.f.为,显然，,故 X,Y 不独立,判独立的一个重要命题,设 X,Y 为相互独
6、立的 r.v.u(x),v(y)为连续函数,则 U=u(X),V=v(Y)也相互独立.,即,独立随机变量的连续函数仍独立.,二、如何判断随机变量的相互独立性？,若 X,Y 为相互独立的 r.v.,则a X+b,cY+d 也相互独立；,X 2,Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念可以推广到 n 维随机变量,若,则称 r.v.X 1,X 2,X n 相互独立,由命题知,若对于所有的x1,x 2,x m;y1,y 2,y n 有,设(X1,X 2,X m)和(Y1,Y 2,Y n),相互独立，,则,X i(i=1,2,m),和,Y j(j=1,2,m),相互独立。,又若 h,g 是连续函数,则,h(X1,X 2,X m),g(Y1,Y 2,Y n),和,相互独立。,定理：,其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X 2,X m),(Y1,Y 2,Y n),和(X1,X 2,X m,Y1,Y 2,Y n)的分布函数,则称随机变量(X1,X 2,X m)和(Y1,Y 2,Y n)是相互独立的.,作 业 练习十二 A类 1，2，3,4,
