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1、1,4 相互独立的随机变量,两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A,B独立，由此可以引出两个随机变量独立的概念.,2,由二维随机变量(X,Y)相互独立的定义可知，二维随机变量(X,Y)相互独立的充要条件是：对任意的x,y,有,它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.,3,4,1、由随机试验的独立性直接判断两随机变量的独立性。（若一个随机变量的取值情况与另一个随机变量的取值情况毫无关系，互不影响，则一般认为它们相互独立。）,例1 甲掷均匀硬币两次，记正面出现的次数为X,而乙掷均匀骰子一次，记出现的点数为Y，试问X与 Y是否独立？
2、解：因“甲掷硬币”与“乙掷骰子”这两个试验互不影响，所以这两个随机试验相互独立，由这两试验的相互独立，可知X与Y也相互独立。,5,例2 设离散型随机变量X和Y的联合分布律如下表，试问与为什么数值时X和Y才相互独立？,解：由X,Y的联合分布律可求得X,Y的边缘分布律如下,6,要使X和Y相互独立，必须有,从而，X的边缘分布率为,7,可以验证此时有,8,例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及P(X+Y0).,9,解：因X和Y相互独立，,故(X,Y)的联合分布律为,10,由上表易得,11,例4 设随机变量X与Y的联合分布律如表，试问X与Y是否相互独立
3、?,解：因为PX=-2,Y=2=0，由此可知X与Y必不相互独立.,12,例5 已知(X,Y)的联合密度函数为,(1),(2),讨论X,Y 是否独立？,13,解,(1)由图知边缘密度函数为,显然，,故 X,Y 相互独立,14,(2)由图知边缘密度函数为,显然，,故 X,Y 不独立,15,对任何 x,y 有,取,16,故,17,例6 设连续型随机变量X与Y相互独立，均服从正态分布N(0,1)，试求,18,19,命题 设 X,Y 为相互独立的随机变量，u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.,事实上,设X 与Y 的密度函数分别为f X(x),f Y(y),则,因此，,20,例如，若 X,Y 为相互独立的随机变量,则aX+b,cY+d 也相互独立；,X 2,Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念可以推广到 n 维随机变量,若,则称随机变量X 1,X 2,X n 相互独立,21,若两个随机变量相互独立,且又有相同 分布,不能说这两个随机变量相等.如,X,Y 相互独立，则,注意,
