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1、科学出版社,第六章,利用微元法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,科学出版社,第一节,微元法,一、很多实际问题归结为定积分问题,二、微元法,第六章,科学出版社,的方法求出,一、很多实际问题归结为定积分问题,1)如果所求量 F 是与区间a,b上的某分布 f(x)有,2)F 对区间 a,b 具有可加性,即可通过,“分割，近似，取极限”,有关的一个整体量;,这样就归结为求 f 定积分:,科学出版社,二、微元法,第一步,内的近似值：,第二步,的精确值，,这种分析方法称为微元法,第二节,称为所求量 F 的微元.,微元法在几何和物理中有很多应用.,即 f 的积分表达式：,用“
2、分割、近似”的方法求出 F 在,将微元从 a 到 b 进行“无限累加”，得出 F,(或元素法).,科学出版社,第二节,一、直角坐标系下的面积公式,二、极坐标系下的面积公式,平面图形的面积,第六章,科学出版社,一、直角坐标系下的面积公式,设两条连续曲线,与,所围成的曲边梯形面积为 A,在a,b上任取小区间,及直线,上的面积微元是：,则在,所求面积是：,科学出版社,若平面图形由连续曲线,与,围成,则在c,d上任取小区间,及直线,得到面微元,所求面积是：,科学出版社,例1.,在第一象限所围,图形的面积.,解:由,得交点,因此，,计算两条抛物线,科学出版社,例2.,与直线,的面积.,解:,得交点,所围
3、图形,为简便计算,选取 y 作积分变量,则有,计算抛物线,由,科学出版社,例3.,解:,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a=b 时得圆面积公式,求椭圆,利用对称性,科学出版社,例4.,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.,解:,求由摆线,科学出版社,二、极坐标系下的面积公式,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,设,科学出版社,心形线,例5.,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),计算心形线,科学出版社,心形线(外摆线的一种),即,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,科学出版社,例6.,与圆,所围图形的面积.,解:,所求面积,计算心形线,利用对称性,科学出版社,例7.,所围图形面积.,解:,则所求面积为,如何 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积？,答案:,求双纽线,利用对称性,
