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1、1,极限存在准则,两个重要极限,小结 思考题 作业,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第一章 函数与极限,2,1.夹逼准则,证,准则,满足下列条件:,一、极限存在准则,如果数列,那末数列,的极限存在,且,3,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数,的极限.,4,称为,准则,如果,那末,存在,且等于A.,夹逼准则.,有,准则,准则和,5,例,解,由夹逼定理得,6,注,利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数 f(x)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x),和h(x)即可.,7,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,单调有
2、界数列必有极限.,单调有界,有极限,有界,8,例,证,极限存在.,显然,(1),是单调增加的;,(2),是有界的;,存在.,9,(舍去),(3),极限存在.,解得,10,准则,单调并且有界,设函数 f(x)在点 x0的某个右邻域内,则f(x)在点 x0,右极限,必定存在.,单调有界数列必有极限.,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,准则有不同的形式.,11,(1),作为准则 的应用,二、两个重要极限,12,即,夹逼定理,该极限的特点:,13,?,一般有,问,正确,14,例,例,例,例,15,练习,解,16,解,由于,以及,夹逼定理,17,(2),作为准则 的应用,现证明数列x
3、n单调增加,按牛顿二项公式,有,且有界.,18,类似地,显然,是单调增加的;,19,无理数,单调有界数列必有极限,是有界的;,20,当x实数趋向 或 时,因此,中的底就是这个常数,或,的极限都存在且等于,函数,可证明,指数函数,以及自然对数,21,“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的倒数,其极限为数e”.,该极限的特点:,(2)括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,若极限呈,但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2)成立.,这个重要极限应灵活的记为:,则,一般有,22,问,?,正确解法,则,由于当,故,从而原式,23,例,例,例,例,24,例,例,解,原式=,25,1.选择题,D,练习,C,26,A,解,或,27,2.两个重要极限,夹逼准则;,单调有界准则.,三、小结,1.极限存在准则,),(,x,j,28,思考题,1.求极限,2.求极限,3.2002年考研数学二,8分,29,思考题解答,2.原式=,30,解,均为正数,故,设,则,由数学归纳法知,对任意正整数,均有,因而数列,有界.,3.2002年考研数学二,8分,31,又当,因而有,即数列,单调增加.,由单调有界数列必有极限知,存在.,两边取极限,得,解之得,(舍去).,32,作业,习题1-6(55页),1.(1)(3)(5)(6)2.4.(2)(4)(5),
