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1、1,第六节 极限存在准则 两个重要极限,一、极限存在准则,二、两个重要极限,三、小结 思考题,2,一、极限存在准则,1.【夹逼准则】,【证】,3,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,4,利用夹逼准则关键是将xn作适当缩放,得到极限容易求的数列yn与zn，且极限相等.,【注意】,准则 和准则 称为夹逼准则.,利用夹逼准则关键是对不易求极限的f(x)作适当缩放，得到极限容易求的g(x)与h(x)，且极限相等.,5,【补例1】,【解】,由夹逼准则得,抓大头,6,【练习】,提示,提示,提示单调有界准则,7,提示,提示,由夹逼定理得,【注】记住x的运算性质：,当 x 0 时,8,
2、2.【单调有界准则】,单调增加,单调减少,广义单调数列,【几何解释】,9,相应地，函数极限也有类似的准则,【准则】,10,【补例2】,【证】,(舍去),递推公式,注意到,？,11,【说明】,该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论,如,式两端取极限后 得,从而得,矛盾,显有,12,二、两个重要极限,(1),13,14,【几何解释】,【注】,该极限推广为更一般地情形,或,【理论根据】复合函数求极限法则,该极限的特点,.极限呈 未定式极限,常用不等式：,15,教材【例2】,【解】,复合函数求极限法则,.正弦号后面的变量与分数线对面的变量，,若符合
3、以上两个特点，则极限为1；,若成立、而不成立，通常是“凑”不含正弦号的那一方的变量，使成立.,形式上一致.,16,教材【例3】,【解】,换元法,于是由复合函数的极限运算法则可得,17,(2),【定义】,18,类似地,19,20,21,【注】,该极限推广为更一般地情形,或,【理论根据】复合函数求极限法则,该极限的特点,.极限呈 型未定式极限,.括号中“1”后的项连同符号与指数中变量的形式连同符号，互为倒数.,在成立的前提下，若不成立，通常是“凑”指数中变量的形式，使之与括号中“1”后面的项（连同符号）互为倒数.,22,【例4】,【解】,【例5】,【解】,23,【例6】,【解】,【例7】,【解】,24,三、小结,1.【两个准则】,2.【两个重要极限】,夹逼准则;单调有界准则.,25,【思考题】,求极限,26,【思考题解答】,抓大头,
