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1、第八章,多元函数的基本概念,多元函数的微分法则,多元函数微分学的应用,多元函数微分法,及其应用,上页 下页 返回 结束,n维空间 平面点集,多元函数的极限,第八章 多元函数微分法,多元函数的连续性,第一节,上页 下页 返回 结束,多元函数的基本概念,多元函数的概念,1.n 维空间,n 元有序数组,的集合称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标.,记作,即,一个点,当所有坐标,称该元素为,的零元,记作,O.,上页 下页 返回 结束,一、预备知识,的距离,规定为,与零元 O 的距离为,上页 下页 返回 结束,特别地,时，,时，,时，,与点,直线,平面,现实
2、空间,x 的模,2.邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间,(球邻域),注 若不需要强调邻域半径,也可写成,点P0 的去心邻域,记为,上页 下页 返回 结束,3.区域,(1)内点、外点、边界点,设有点集E 及一点P,若存在点P 的某邻域 U(P)E,若存在点P 的某邻域 U(P)E=,若点P 的任一邻域 U(P)中,既有E 内的点又有,则称P 为E 的内点；,则称P 为E 的外点;,则称P 为E 的边界点.,不在E 中的点,上页 下页 返回 结束,(2)开区域和闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集 E E,则称 E 为闭集；,若集 D 中
3、任意两点都可用一完全属于 D 的折线,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通集;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,上页 下页 返回 结束,相连,例如，在平面上,开区域,闭区域,上页 下页 返回 结束,整个平面,点集,是开集，,是最大的开区域,也是最大的闭区域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与,某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界区域,界区域.,否则称为无,上页 下页 返回 结束,设 D 是,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,的一个非空子集，,则称 f 为定义,在 D 上的
4、 二元函数,上页 下页 返回 结束,二、二元函数的概念,法则 f，,总有唯一确定的z 值与,之对应，,记作,若存在对应,对任意的,定义,x,y称为自变量,z 称为因变量;,例如,二元函数,定义域为,圆域,2.二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,上页 下页 返回 结束,注 1.类似可定义三元函数以及三元以上的函数.,二元及二元以上的函数统称为多元函数.,三、二元函数的极限,定义,则称 A 为函数,是区域 D 的内点或边界点，,时，,记作,按任意方式趋于,上页 下页 返回 结束,若 D 中的点,总趋向于某个确定的数值A，,时的极限，,当,
5、或,或,设,定义(略),上页 下页 返回 结束,注 1.上述二元函数的极限又称为二重极限.,表示点P 以任何方式趋向于,时函数的极限值都等于A.,选择一条路径，使得极限不存在；,故验证二重极限,不存在，方法有二：,选择不同路径，使得极限不相等.,2.,解 沿曲线,不存在.,取极限,故原极限不存在.,例1.验证极限,小技巧：选路径使分母的次数比分子最低次数高.,上页 下页 返回 结束,解 设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则有,k 值不同极限值不同!,在(0,0)点极限不存在.,例2.讨论函数,上页 下页 返回 结束,二元函数有与一元函数类似的极限运算
6、法则.,例3.求下列极限：,解,原式,上页 下页 返回 结束,注 二元函数求极限不能用洛比达法则.,四、二元函数的连续性,定义.设二元函数,定义域为 D,如果函数在D 上各点处都连续,则称此函数在D 上 连续.,如果,否则称为不连续,此时,称为函数的间断点.,则称函数,连续,上页 下页 返回 结束,在点,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,上页 下页 返回 结束,见例2,注 二元函数的间断点可能为孤立点或一条曲线.,区域上连续函数的图形是一张没有点洞，也没有裂缝的连续曲面.,定理 一切多元初等函数在定义区域内连续.,解 原式,例4.,求
7、极限,注 多元函数求极限的常用方法：,四则运算法则;,上页 下页 返回 结束,连续性,有理化,有理化;,多元化一元;,连续性.,性质1（有界性与最大最小值定理）,闭区域上多元连续函数的性质:,上页 下页 返回 结束,在有界闭区域D上的多元连续函数，必在D上有界，,且能取得它的最大值和最小值.,性质2（介值定理）,在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.,内容小结,1.基本概念,邻域:,区域,连通的开集,2.二元函数的概念,图形一般为空间曲面,上页 下页 返回 结束,D为平面点集,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续.,上页 下页 返回 结束,作 业P50 1;4(1,2,4);5(1,2,5);6(1);7;8,上页 下页 返回 结束,
