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1、高等数学是现代各科知识的理论基础，在数 学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生养成数学建模的习惯。暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。,高等数学在数学建模中的应用举例,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,例1 舰艇的会合,即：,可化为：,（护卫舰的路线方程）,（航母的路线方程）,即可求出P点的坐标和2 的值
2、。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用,例2 双层玻璃的功效,在寒冷的北方，许多住房的 玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的差异仅仅在窗户不同。,设玻璃的热传导系数 为k1，空气的热传导系数 为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为,解得：,此函数的图形为,类似有,一般,故,记h=l/d并令f(h)=,考虑到美观和使用上 的方便，h不必取得过大，例如，可 取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的 3%。,例3 崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一
3、只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间 为0.1秒，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,例4 录像带还能录多
4、长时间,录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒。我们从0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像机目前的计数为1428，问是否还能录下一个 60分钟的节目？,又 因和 得,积分得到,即,从而有,此式中的三个参数、v和r均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出t与n的函数关系，但效果不佳，故令 则可将上式简化为：,故,t=an2+bn,上式以a、b为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：,从后两式中消 去t1，解得a=0.0000291,b=0.04
5、646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒录像带实际可录像时间为185.33分，故尚可录像时间 为59.64分，已不能再录下一个60分钟的节目了。,设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为，,故砖块向右可叠至 任意远，这一结果多少有点出人意料。,AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。,例7 方桌问题,将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不 允许将桌子
6、移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？,不附加任何条件，答案 显然 是否定的，,现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上，而B、D则在y轴上，当方桌绕中 心0旋转时，对角线 AC与x轴的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f()为A、C离地距离之和，g()为B、D离地距离之和，它们的值 由唯一确定。由假设（1），f()、g()均为的连续函数。又 由假设（3），三条腿总能同时着地，故f()g(
7、)=0必成立（）。不妨设f(0)=0,g(0)0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：,圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3.1605）作为的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求的努力。,例8 的计算,古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方 法,概率方法 数值积分方法,古典方法,用什么方法来计 算的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。,6边形,12边形,24边形,圆
8、,阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切96边形夹逼的方法证明了,由和 导出,公元5世纪，祖冲之指出,比西方得到同样结果几乎早了1000年,十五世纪中叶，阿尔卡西给出的16位小数，打破了祖冲之的纪录,1579年,韦达证明,1630年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了的第39位小数,分析方法,从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求近似值的实例。,取,取,1656年，沃里斯(Wallis)证明,在微积分中我们学过泰勒级数，其中有,当,取,取,在中学数学中证明过下面的等式,麦琴(Machin)给出,(Machin公式),其它方法,除用古典方法与分析方法求的近似值以外，还有人用其他方法来求的近似值。这里我们将介绍两种方法：,概率方法 数值积分方法,概率方法,取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整 数n，重复n次，每次独立地从（0，1）中随机地取一对 数x和y，分别检验x2+y21是否成立。设n次试验中等式成立的共有m次，令4m/n。,数值积分方法,
