☆☆☆☆组合与组合数公式.ppt

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1、,组合与组合数公式,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,有顺序,无顺序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,组合定义:,排列定义:,一般地说，从n个不同元素中，取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,思考:,排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？,共同点:都要“从n个不同元

2、素中任取m个元素”,不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序合成一组”,排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,什么是两个相同的排列？什么是两个相同的组合？,相同排列：元素相同且顺序相同.相同组合：元素相同,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的

3、火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,如:从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab,ac,bc,如:已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3个),6个,练习:,中国、美国、古巴、俄罗斯四

4、国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况。,（1）中国美国 中国古巴 中国俄罗斯 美国古巴 美国俄罗斯 古巴俄罗斯,（2）,组合数:从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示,如:,思考:如何计算:,写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,a,abc，abd，acd，bcd.,b,c,d,d,b,c,c,d,写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列.,abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba db

5、a acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb,所有的排列为：,组合,排列,abc bac cabacb bca cba,abd bad dabadb bda dba,acd cad dacadc cda dca,bcd cbd dbcbdc cdb dcb,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数,例1计算：,例2求证：,例6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出1

6、1名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,(2),解：,(1),例7（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？,(2),解：,(1),例8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件.(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？,(2),解：,(1),(3),法一：,法二：,说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法

7、求解。,变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,组合数的两个性质,写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,a,abc，abd，acd，bcd.,abc abd acd bcd,d c b a,abc abd acd bcd,含元素a 的组合数:,不含元素a 的组合数:,例9计算：,例10 求证:,证明:,例11平面内有12个点，任何3点不在同一直线上,以每3点为顶

8、点画一个三角形,一共可画多少个三角形?,答:一共可画220个三角形.,思考交流,1.从9名学生中选出3人做值日,有多少种不同的选法?,2.有5 本不同的书,某人要从中借2本,有多少种不同的借法?,元素相同问题隔板策略,应用背景：相同元素的名额分配问题 不定方程的正整数解问题,隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个,元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法。

9、,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,回目录,例 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?,解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.,结论 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.,分析 此题若直接去考虑的话

10、,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.,回目录,练 习,（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有（）种。,（2）不定方程 的正整数解共有（）组,回目录,平均分组问题除法策略,“分书问题”,平均分组问题除法策略,例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？,解:分三步取书得 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,

11、EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法,而 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。,回目录,1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队,有多少分法？,2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同 的分组方法,（1540）,3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_,回目录,分清排列、组合、等分的算法区别,例(1)

12、今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?,解：（1）,（2）,(3),回目录,练习(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,解:(1),(2),回目录,小结：排列与组合的区别在于元素是否有序;m等分的组合问题是非等分情况的;而元素相同时又要另行考虑.,回目录,先选后排问题,八.排列组合混合

13、问题先选后排策略,例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?,回目录,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_ 种,192,回目录,3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不

14、同的分配方法共有多少种?,先选后排问题的处理方法,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,回目录,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,回目录,练习 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。,回目录,解决排列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。,3.确定每一

15、步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略,一.特殊元素优先法和特殊位置优限法,例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.,解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,特殊位置优限法和特殊元素优先法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条

16、件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。,7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？,练习题,二.相邻问题捆绑法:,例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相 邻,共有多少种不同的排法.,解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素捆绑为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意捆绑的元素内部要松绑。,某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种

17、数为（）,练习题,20,捆在一起的相同元素不需要松绑。,捆在一起的相同元素的个数若不同，便是不同的元素了。,三.不相邻问题插空法:,例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？,解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种，,元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端的“空”中。,某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）,30,练习题,有6个座位连成一排，安排3人就座，恰有两个空位相邻的不同坐

18、法有（）种？,72,四.部分元素定序问题倍缩法:,例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法,解:,(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：,（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法,1,（插空法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法,4*5*6*7,定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理,练习题,10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐

19、增加，共有多少排法？,五.重复排列问题求幂法:,例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）,练习题,六.环排问题线排法,例6.5人围桌而坐,共有多少种坐法?,解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有_ 种排法即,（5-1)！,一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有,练习题,6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈,60,七.分排问题直排法:,例7.8人排成前后两排,每排

20、4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是_,346,练习题,八.排列组合混合问题先分类再分步,先组合后排列:,例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.,解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 有_种方法.再把5个元素(包含一个复合 元素)装入4个不同的盒内有_种方法.,根据分步计数原理装

21、球的方法共有_,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_ 种,192,在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌,广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有（）种,55,九.小集团问题先整体后局部,例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之 间,这样的五位数有多少个？,解：把,当作一个小集团与排队共有_种排法，再排小集团内部共有_种排法，由分步计数原理共有_种

22、排法.,小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_,2.5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_种,十.相同元素分堆问题隔板法:,例10.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）

23、,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,练习题,10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？,2.不定方程x+y+z+w=7的正整数解的个数是多少个?,十一.正难则反淘汰法:,例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？,解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。,再淘汰和小于10的偶数共_,符合条件的取法共有_,9,+,有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.,我们班里有43位

24、同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?,练习题,十二.平均分堆问题等额有序和等额无序法:,例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？,解:分三步取书得 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法,而 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 有 种分法。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一

25、定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。,1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4 个队,有多少分法？,2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同 的分组方法,（1540）,3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_,十三.公共元素问题韦恩图法:,例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人 唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?,解：,10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。,本题还有如下分类标准：*以3个全能

26、演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可以得到正确结果,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。,1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_,34,练习题,2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.,27,十四.构造模型策略,例14.马路上

27、有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？,解：把此问题当作一个排队模型在6盏 亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有_ 种,一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决,练习题,某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？,120,十五.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，

28、并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，,十五.实际操作穷举策略,例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法,解：从5个球中取出2个与盒子对号有_种 还剩下3球3盒序号不能对应，,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2 种,对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果,练习题,同一寝室4人

29、,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？,(9),2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则 不同的着色方法有_种,72,十六.分解与合成策略,例16.30030能被多少个不同的偶数整除,分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113依题 意可知偶因数必先取2,再从其余5个 因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：,例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线,解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四 体共有体共_,6,658=174,分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策

30、略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略,十七.化归策略,例18.25人排成55方队,现从中选3人,要 求3人不在同一行也不在同一列,不同的 选法有多少种？,解：,将这个问题退化成9人排成33方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，,从55方队中选取3行3列有_选法所以从55方队选不在同一行也不在同一列的3人有_选法。,处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，

31、通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题,如此继续下去.从33方队中选3人的方法有_种。再从55方队选出33方队便可解决问题,某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？,练习题,设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将5个球投放到这五个盒子内，要求每个盒内放一个球，若球的编号恰好与盒子的编号均不同，则不同的投放方法的种数为多少？,将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有多少种？,我校邀请了6位同学的父母共1

32、2人,请这12名家长中的4位介绍对子女的教育情况,如果这4位中恰有一对是夫妻,那么不同的选择方法的种数是多少?,在5双不同的手套中任取4只,则其中至少有两只配成一副手套的取法有多少种?,小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。,